前几天有人问我这个问题，以前从未考虑过。

我的直觉来自每个估算器的优势。最大似然最好是当我们对数据生成过程有信心时，因为与矩方法不同，它利用了整个分布的知识。由于 MoM 估计器仅使用矩中包含的信息，当我们试图估计的参数的充分统计量恰好是数据的矩时，这两种方法似乎应该产生相同的估计。

我已经用几个分布检查了这个结果。正态（未知均值和方差）、指数和泊松都具有与其矩相等的足够统计量，并且 MLE 和 MoM 估计量相同（对于具有多个 MoM 估计量的 Poisson 等情况并非严格如此）。如果我们看制服$(0,\theta)$, 的充分统计量$\theta$是$\max(X_1,\cdots,X_N)$MoM 和 MLE 估计量不同。

我想这也许是指数族的一个怪癖，但对于已知均值的拉普拉斯来说，足够的统计数据是$\frac{1}{n} \sum |X_i|$并且方差的 MLE 和 MoM 估计量不相等。

到目前为止，我通常无法显示任何类型的结果。有人知道一般情况吗？甚至一个反例也能帮助我完善我的直觉。