假设我们有两个点（下图：黑色圆圈），我们想为它们之间的第三个点（十字）找到一个值。事实上，我们将根据我们的实验结果，即黑点来估计它。最简单的情况是画一条线，然后求值（即线性插值）。如果我们有支持点，例如，作为两边的棕色点，我们更愿意从它们中受益并拟合非线性曲线（绿色曲线）。
问题是，将红十字标记为解决方案的统计推理是什么？为什么其他十字架（例如黄色的十字架）不是它们可能的答案？什么样的推论或（？）促使我们接受红色的？
我将根据这个非常简单的问题得到的答案来开发我的原始问题。
插值的统计依据是什么？
机器算法验证
估计
插值
2022-02-16 04:46:58
2个回答
任何形式的函数拟合，即使是非参数拟合（通常对所涉及的曲线的平滑度做出假设），都涉及假设，因此是一种信念的飞跃。
线性插值的古老解决方案是当您拥有的数据“足够”细粒度时“才有效”（如果您看一个足够近的圆，它看起来也很平坦 - 问问哥伦布），甚至是可行的在计算机时代之前（许多现代样条解决方案并非如此）。假设函数将在两点之间“继续在相同（即线性）物质中”这一信念是有道理的，但没有先验原因（除非对手头的概念有了解）。
当您有三个（或更多）非共线点（例如添加上面的棕色点时）时，很快就会清楚，每个点之间的线性插值很快就会涉及每个点中的尖角，这通常是不需要的。这就是其他选项跳入的地方。
但是，如果没有进一步的领域知识，就无法肯定地说明一种解决方案比另一种更好（为此，您必须知道其他点的值是什么，从而违背了将函数拟合到第一名）。
从好的方面来说，也许与您的问题更相关，在“规律性条件”下（阅读：假设：如果我们知道该函数是平滑的），线性插值和其他流行的解决方案都可以被证明是“合理的”近似值。仍然：它需要假设，对于这些，我们通常没有统计数据。
您可以计算出最佳拟合线的线性方程（例如 y = 0.4554x + 0.7525 ），但这仅在有标记轴的情况下才有效。然而，这不会给你确切的答案，只有与其他点最合适的答案。