机器算法验证 - 具有不同成功概率的伯努利变量之和 - 吾爱随笔录

机器算法验证伯努利分布卷积泊松二项分布

2022-01-30 12:40:19

让 $x_i$ 是具有成功概率的独立伯努利随机变量 $p_i$ . 那是， $x_i=1$ 有概率 $p_i$ 和 $x_i=0$ 有概率 $1-p_i$ .

总和的分布是否有封闭表达式或近似公式 $\sum_i x_i$ ?

2个回答

是的，事实上，分布被称为泊松二项分布，它是二项分布的推广。分布的均值和方差很直观，由下式给出

\begin{aligned} E [\sum_{i} x_{i}] & = \sum_{i} E [x_{i}] = \sum_{i} p_{i} \\ V [\sum_{i} x_{i}] & = \sum_{i} V [x_{i}] = \sum_{i} p_{i} (1 - p_{i}) . \end{aligned}

$\begin{align} E\left[\sum_i x_i\right] &= \sum_i E[x_i] = \sum_i p_i\\ V\left[\sum_i x_i\right] &= \sum_i V[x_i] = \sum_i p_i(1-p_i). \end{align}$

期望很简单，因为它是线性算子。由于独立性假设，方差也很简单。

我不知道存在一个封闭的公式。如果 n 变得相关，您可以应用中心定理极限，从而用正态分布来近似总和分布，其均值是 p_i 的总和，方差是 p_i * ( 1 - p_i) 的总和。

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