关于泊松与正态回归的三点，都与模型规范有关：

预测变量变化的影响

使用像数学测试分数这样的连续预测变量泊松回归（使用通常的对数链接）意味着预测变量的单位变化会导致奖励数量的百分比变化，即数学测试多 10 分与例如 25% 相关联更多奖项。这取决于学生已经预计获得的奖项数量。相比之下，正态回归将多 10 个点与一个固定数量相关联，例如在所有情况下多 3 个奖励。在使用创建它的模型之前，您应该对这个假设感到满意。（我认为这是非常合理的，模下一点。）

与没有奖品的学生打交道

除非真的有很多奖项分布在很多学生身上，否则你的奖项数量大多会很低。事实上，我会预测零通货膨胀，即大多数学生没有得到任何奖励，所以很多零，而一些好学生得到了相当多的奖励。这与 Poisson 模型的假设相混淆，并且至少对 Normal 模型同样糟糕。

如果您有大量数据，那么“零膨胀”或“障碍”模型将是很自然的。这是两个捆绑在一起的模型：一个预测学生是否获得任何奖项，另一个预测如果她获得任何奖项，她将获得多少（通常是某种形式的泊松模型）。我希望所有动作都在第一个模型中。

奖励专有权

最后，关于奖项的一个小点。如果奖励是排他性的，即如果一个学生获得奖励，那么其他学生无法获得奖励，那么你的结果是耦合的；学生 a 的一个计数会降低其他每个学生的可能计数。这是否值得担心取决于奖励结构和学生人数的规模。我会在第一遍时忽略它。

总之，除了非常大的计数之外，泊松轻松地主导了正常，但在大量依赖泊松进行推理之前检查泊松的假设，并准备好在必要时转移到稍微复杂的模型类。

在这种情况下，泊松回归会更合适，因为您的反应是某事的计数。

简而言之，我们模拟单个学生的奖励数量分布来自泊松分布，并且每个学生都有自己的$\lambda$泊松参数。然后，泊松回归将此参数与解释变量相关联，而不是计数。

这比正常的线性回归更好的原因是与错误有关。如果我们的模型是正确的，并且每个学生都有自己的$\lambda$，那么对于给定的$\lambda$我们期望它周围的计数呈泊松分布 - 即不对称分布。这意味着异常高的值并不像异常低那样令人惊讶。

正态线性回归假设平均值周围的正态误差，因此对它们进行同等加权。这就是说，如果一个学生的预期奖励数量为 1，那么他们获得 -2 奖励的可能性与获得 3 奖励的可能性一样：这显然是胡说八道，泊松就是为了解决这个问题。

只要奖励的条件均值在预测变量中是线性的，对预测变量的奖励的普通最小二乘回归将产生一致的参数估计。但这通常是不够的，因为它允许预测的奖励数量为负数（即使对于预测变量的“合理”值），这是没有意义的。人们通常会尝试通过获取奖励的自然对数并使用 OLS 来解决这个问题。但这失败了，因为有些学生没有获得奖励，所以你必须使用类似的东西$\ln(awards+0.5)$，但这会产生自己的问题，因为您大概关心奖项，并且重新转换并非易事。

此外，随着预期的奖励数量变得非常大，OLS 应该会因为@Corone 概述的原因而表现得更好。在沃比贡湖，OLS 是必经之路。

如果预期数字很低，有很多零，我会在负二项式模型上使用具有稳健标准误差的泊松。NB 回归对产生系数的一阶条件中出现的方差做出了强有力的假设。如果不满足这些假设，则系数本身可能会受到污染。泊松的情况并非如此。

@corone 提出了很好的观点，但请注意，泊松仅在以下情况下才真正不对称$\lambda$是小。就算$\lambda$ = 10，它非常对称，例如

set.seed(12345)
pois10 <- rpois(1000, 10)
plot(density(pois10))
library(moments)
skewness(pois10)

显示 0.31 的偏度，非常接近 0。

我也喜欢@conjugateprior 的观点。根据我的经验，泊松回归很少能很好地拟合。我通常使用负二项式或零膨胀模型结束。