信息处理 - 为什么在计算倒谱时进行傅里叶逆变换与傅里叶变换相同？ - 吾爱随笔录

信息处理频谱倒谱分析

2022-02-13 09:50:18

通常，信号的倒谱是对其功率谱取对数，然后应用傅里叶逆变换的结果：

C_{p} = | F^{- 1} {\log (| F {f (t)} |^{2})} |^{2}

$C_p = |F^{-1}\{\log(|F\{f(t)\}|^2)\}|^2$

它有时也被称为“光谱的光谱”，因为它也可以定义为：

C_{p} = | F {\log (| F {f (t)} |^{2})} |^{2}

$C_p = |F\{\log(|F\{f(t)\}|^2)\}|^2$

我真的很难理解这两者是如何等效的（直到一个比例因子），这是我得到的印象非常重要，以理解为什么在其他处理步骤（例如梅尔频率倒谱）中最后进行正向变换而不是逆变换...

1个回答

这两个公式之间的唯一区别是和，所以让我们看一下 DFT 和 IDFT 的定义（我们将在离散域中看到这个属性） $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}^{-1}$

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j \frac{2 π}{N} k n}

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j \frac{2 π}{N} k n}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}$

在我们的常识是一个时间序列，是一个频率序列，但是您也可以将 DFT 和 IDFT 视为可以应用于任何序列的两个变换，在这种情况下，，我们将其表示为。的 DFT 和 IDFT分别为 $x[n]$ $X[k]$ $\log(|\mathcal{F}\{x[n]\}|^2)$ $f[m]$ $f[m]$

F {f [m]} = \sum_{m = 0}^{N - 1} f [m] e^{- j \frac{2 π}{N} k m}

$\mathcal{F}\{f[m]\} = \sum_{m=0}^{N-1}f[m]e^{-j\frac{2\pi}{N}km}$

F^{- 1} {f [m]} = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} f [m] e^{j \frac{2 π}{N} m n}

$\mathcal{F}^{-1}\{f[m]\} = \frac{1}{N} \sum_{m=0}^{N-1}f[m]e^{j\frac{2\pi}{N}mn}$

有两个主要区别，比例因子和共轭。由于是一个实数序列，我们可以推导出 $1/N$ $f[m]$

F {f [m]} = N [F^{- 1} {f [m]}]^{*}

$\mathcal{F}\{f[m]\} = N \big[\mathcal{F}^{-1}\{f[m]\}\big]^*$

最后取这两个序列的范数，我们得到两个具有比例因子的等价序列。

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