可行的。但仅适用于奇数。它将有无限的解决方案。$N$

例子：

$$\begin{align} x &= [x_0, x_1, 0] \\ x_0 &= 0.5 \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + j 0.5\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ x_1 &= 0.5 \left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) + j 0.5\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \end{align}$$

import numpy as np
x = np.array([.5 + .5/np.sqrt(3) + 1j*(.5 - .5/np.sqrt(3)),
              .5 - .5/np.sqrt(3) + 1j*(.5 + .5/np.sqrt(3)), 
              0])
xf = np.fft.fft(x)
assert np.allclose(xf[2], 0)

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证明

我们寻求以 N / 2 自由度编码N 2位信息有无数这样的编码。对于偶数情况，我们寻求以自由度零点。我们知道一种解决方案是。通过唯一性（一对一），我们因此得出结论，它是唯一的解决方案。$N / 2 - 1$${}^1$$N / 2$$N/2$$N/2$$x=X=0$

我推导出的解决方案，它概括了任何奇数：$N=3$$N$

x * exp(k) = X
(x.re + x.im) * (cos - i*sin)
(x.re*cos - x.re*i*sin) + (x.im*i*cos - x.im*i*i*sin) = X.re + X.im*i
x.re*cos + x.im*sin = X.re
x.im*cos - x.re*sin = X.im

 cos(k=0) * x.re + sin(k=0) * x.im = X[0].re
 cos(k=1) * x.re + sin(k=1) * x.im = X[1].re
 cos(k=2) * x.re + sin(k=2) * x.im = X[2].re

-sin(k=0) * x.re + cos(k=0) * x.im = X[0].im
-sin(k=1) * x.re + cos(k=1) * x.im = X[1].im
-sin(k=2) * x.re + cos(k=2) * x.im = X[2].im

[1   1   1] * r + [0    0     0] * i = R0
[1 -.5 -.5] * r + [0   .87 -.87] * i = R1
[1 -.5 -.5] * r + [0  -.87  .87] * i = R2

[0    0     0] * r + [1   1   1] * i = I0
[0  -.87  .87] * r + [1 -.5 -.5] * i = I1
[0   .87 -.87] * r + [1 -.5 -.5] * i = I2

r2 = i2 = 0
-->
[1   1   0] * r + [0    0   0] * i = R0
[1 -.5   0] * r + [0   .87  0] * i = R1
[1 -.5   0] * r + [0  -.87  0] * i = R2

[0    0   0] * r + [1   1  0] * i = I0
[0  -.87  0] * r + [1 -.5  0] * i = I1
[0   .87  0] * r + [1 -.5  0] * i = I2

r0 +    r1          = R0;
r0 - .5*r1 + .87*i1 = R1;
r0 - .5*r1 - .87*i1 = R2;

          i0 +    i1 = I0;
-.87*r1 + i0 - .5*i1 = I1;
 .87*r1 + i0 - .5*i1 = I2;

现在我们任意设置R0=I0=1并将其提供给Wolfram Alpha，这给了我们（我设置g为 的占位符sin(2pi/3)）：

对于一般情况：

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1 -注意：它实际上是位信息（ reals and imaginaries）和个自由度（ re & im），这在示例中显示我们指定两个值 ( ) 以获得一个解决方案。$N - 1$$\lfloor N/2 \rfloor$$N + 1$$\lceil N/2 \rceil$R0, I0