我模拟了一个变量的离散样本，其自相关函数（ACF）理论上应该由类指数函数的总和组成。

我的目标是在频域中表示它，因为它是通过实验完成的。这在理论上是通过计算具有变化符号的 ACF 的时间导数的傅里叶-拉普拉斯变换来实现的。

困难在于该过程发生在一个复杂的系统中，并且不包含$N$孤立且易于识别的指数，但希望您可以从中检测到分散的混合物$M<N$主要贡献。编辑： 如果它包含那些容易识别的指数，我可以识别它们并分析性地移动到频域。由于情况并非如此，因此我尝试以数字方式进行，但结果中出现了太多噪音。

我试过的

我尝试了几种方法，但我没有信号处理方面的经验，也不知道哪种方法最可靠。其中最重要的是：

1. 直接法：只需计算 ACF 并执行 FFT。我在 ACF 中得到了很多噪音，在转换之后甚至更多。我注意到了一些季节性。

2. 平滑/平均：我制作了 Savitzky-Golay 滤波器的窗口版本并将其应用于 ACF，这改善了结果，但还不够。将 ACF 划分为块并对其进行平均可以显着改善。

3. 韦尔奇方法：这返回了谱密度。我应用 IFFT 来获得比以前的方法看起来更好的 ACF。我保留前半部分（因为返回的 ACF 看起来像一个周期函数），然后将 FFT 应用于它的导数。

后一个结果看起来要好得多，但有问题： 3.1）频率表示的虚部在零频率处不趋于零（它小于其峰值，但不接近于零）。3.2)我还没有找到适合 FFT 的窗口。我见过的那些在极端情况下值很小，而 ACF 在附近有有价值的信息和更高的准确度$t=0$.

4. 参数方法：假设过程遵循自回归模型（AR），通过 AICc 检验估计其阶数，得到 AR 的相应系数并“解析”找到功率谱。执行 IFFT，然后执行 FFT。最终结果看起来很不错，但做了一些假设。

问题

1. 考虑到时间表示是指数函数，我应该使用哪个窗口，在小范围内具有更精确和更有意义的信息$t$?

2. 计算功率谱是合理的，应用IFFT得到ACF，然后FFT得到它的前半部分的导数？如果是这样，为什么虚部在零频率时不为零？

3. 我应该使用韦尔奇方法还是参数方法？

Botton：模拟的向量函数的分量和范数（400 000 个样本）。

上图：使用谱密度的 IFFT 计算的一维自相关函数（通过 Welch 方法获得）。

中间：在 ACF 上方填充的导数的 FFT。