混合范数允许您在解决方案矩阵中施加一些简单的结构。使用您的示例$p=q=1$那么这意味着解决方案可以将任意元素设置为非零系数。这不会在解决方案中强加任何结构。在这种情况下$L_{11}$norm 只是对所有矩阵元素的绝对值求和 - 类似于 Frobenius 范数。

例如，考虑$L_{11}$以下矩阵的范数相同：

$\begin{bmatrix} 0&2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0&0 \\ 2 & 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 2&0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0&0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$.

所以对于哪个元素设置为非零没有偏好

相反，如果$p=2$和$q=1$, 那么目标函数就是最小化$l_2$列的范数，然后是$l_1$规范超过那个。这意味着您正在寻找一个$a$具有稀疏数量的列向量的矩阵，其中每个列向量都有一个小的$l_2$规范。当然，这假设您正在使用$l_1$规范作为稀疏性的代表。

考虑$L_{2,1}$和$L_{1,2}$以下矩阵的范数：

$\begin{bmatrix} 2&0 \\ 2 & 0\end{bmatrix}, \quad L_{2,1} = \sqrt{8} \approx 2.8, \quad L_{1,2} = 4$

和

$\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad L_{2,1}= 4, \quad L_{1,2} = \sqrt{8}$

所以最小化$L_{2,1}$norm 倾向于选择第一个矩阵的结构而不是第二个矩阵的结构，同时最小化$L_{1,2}$norm 倾向于使用第二个矩阵结构而不是第一个矩阵。

因此，混合范数允许您对正在寻找的稀疏解决方案的结构施加软约束。相对容易看出，您也可以将其设置为查找一组稀疏的行向量，每个行向量都有一个小的$l_2$规范。决定使用哪个实际上取决于您如何设置方程式。