时间不变性在自然界中起着巨大的作用。大多数系统（包括您的耳朵/大脑）没有绝对的时间参考，而是平等地对待所有时间点。这导致人们倾向于使用基本时不变的基函数来描述这些系统，这就是（复杂的）正弦曲线。

对于线性时不变系统，复指数甚至是系统的特征函数，并允许您将系统描述为“对角线”运算符，即以非常简单的方式。这甚至包括一个只执行时间延迟的系统。

非线性时不变系统也可以用正弦曲线来描述，但在那里变得更加复杂。由周期性输入激发的非线性时不变系统通常会产生周期性输出，您可以根据正弦曲线来分析两者。

但是您也可以通过查看非线性系统对任何输入信号的小扰动的响应来执行更严格的数学分析。使用正弦曲线来描述这些扰动可以以一种时不变的方式为您提供局部描述。

所以总而言之，如果你有一个时不变的系统，无论什么性质，时移不变的基函数都是有用的，而复杂的正弦曲线正是如此。

复指数（衰减正弦曲线是实部）是某些类型的低阶线性微分方程的解。用这些低阶线性微分方程对简单的自然现象进行建模被证明是非常有用的。“为什么现实世界会变成这样？” 对哲学家来说可能是一个很好的问题。

Mandlebrot 和 Talib 可能会声称，相信这些简化的模型实际上准确地适用于比大一新生物理实验室容纳的更大的现实世界系统只是人类头脑中的一个小把戏。

Sinusoids 只是看待我们这里的另一种方式（因为频率分析等同于时间分析）——它只是在某些情况下更有用。虽然它是一个模型，这就是我们经常添加噪声模型的原因——因为它们有助于以有效的方式描述正弦曲线无法描述的内容。而且由于我们经常使用噪声模型，它并不是那么完美。

您可能想查看频率和时间分析之间的数学关系，以了解我们为什么经常考虑正弦曲线。