我假设你的意思是关于的导数$t$. 在这种情况下，导数$\sin(\omega_0t)$不是$\cos(\omega_0t)$但$\omega_0\cos(\omega_0t)$. 幸运的是，这也是通过您在问题中提到的傅立叶变换关系获得的：

$$\begin{align}\mathcal{F}\left\{\frac{d}{dt}\sin(\omega_0t)\right\}&=j\omega\cdot \mathcal{F}\left\{\sin(\omega_0t)\right\}\\&=\pi\omega[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\\&=\pi[\omega_0\delta(\omega-\omega_0)-(-\omega_0)\delta(\omega+\omega_0)]\\&=\pi\omega_0[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\\&=\omega_0\mathcal{F}\{\cos(\omega_0t)\}\end{align}$$

我用过的事实是$f(\omega)\delta(\omega-\omega_0)=f(\omega_0)\delta(\omega-\omega_0)$对于任何功能$f(\omega)$那是连续的$\omega=\omega_0$. 因此你有$\omega\delta(\omega+\omega_0)=-\omega_0\delta(\omega+\omega_0)$.

因此，delta 函数满足：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - a)\, \mathrm{d}x = f(a)$$ 现在，假设我们替换$f(x) = x$ $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - a)\, \mathrm{d}x = a = \int_{-\infty}^{\infty} a \delta(x - a)\, \mathrm{d}x$$ 这意味着乘以$\omega$与乘以常数相同。如果你代入你的方程，你会得到结果。请记住，正弦函数的导数将乘以常数项。