信息处理 - 最大化汉明距离是否与最小化相关性相同？ - 吾爱随笔录

信息处理互相关匹配过滤器距离度量

2022-02-01 22:25:42

对于纠错码的设计，我可能希望最大化码字之间的距离。 $\sum a_i \oplus b_i$

对于扩展序列，我想最小化的的互相关，其中映射二进制和被归一化并且没有噪声时，你会从 BPSK 匹配滤波器中得到什么）。 $t=0$ $\sum \sigma(a_i)\sigma(b_i)$ $\sigma(\cdot)$ $0\to1$ $1 \to (-1)$ $E_b$

这些标准是否相同？在我看来，因为充当将循环加法转换为循环复数乘法的同构，所以它们是等价的语句。你能证实这一点并让我知道我可以在哪里阅读更多相关信息吗？ $\sigma$ $\pmod 2$

2个回答

长度为的两个码字和和汉明距离中的元素给出的互相关。原因是有位相等，它们的乘积为，而位不同，它们的乘积为。 $c_1$ $c_2$ $n$ $\lbrace +1, -1 \rbrace$ $d$

(n - d) - d = n - 2 d .

$(n-d) -d = n-2d.$

n - d

$n-d$

1

$1$

d

$d$

- 1

$-1$

注意：

距离越大，相关性越小。 $d$
相关性本身并不能告诉您有关距离的任何信息，因为您还需要知道。例如，和具有相关性但和具有相关性 . $n$ $1,1,1$ $-1,-1,-1$ $-3$ $1,1,1,1,1,1$ $1,1,1,-1,-1,-1$ $0$

好吧，正如您可以轻松验证的那样，如果您将“最小相关性”定义为意味着相关系数的绝对值被最小化（即 0），那么这两个标准并不相同：

在 $\mathbb F_2^N$ 中，离任何给定向量 $v$ 最远的向量是它的按位逆 $\overline v$ （使用汉明距离）
使用您的映射，映射到的倍：。这是最大的相关性，而不是最小的。 $\overline v$ $-1$ $v$ $\sigma(v) =-\sigma(\overline v)$

简而言之，在你的有限域上定义的汉明距离不是与范数兼容的范数，它给出了在实数或复数上的场的相关系数，给定你的。这里没什么好说的——它们根本不一样。 $\mathcal L_2$ $\sigma$

但是，如果您定义在相关系数取最小可能值（不是：绝对值）时要找到的最小相关性，那么是的，由于归一化，最小可能相关系数为 -1，如上所示，您的方法是找到匹配的 BPSK 表示。

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