信息处理 - 我可以构建一个线性系统，使其产生移动平均线吗？ - 吾爱随笔录

我刚刚了解了线性系统和脉冲响应函数。我知道在一个由以下组成的线性系统中 $h_1[k]$ 和 $h_2[k]$ ，系统的脉冲响应为 $h_1[k] \ast h_2[k]$ .

在一个练习中，我得到了以下系统响应：

\begin{aligned} h_{1} (0) & = a \\ h_{1} (1) & = b \\ h_{2} (0) & = c \\ h_{2} (1) & = d \\ h_{1} (n) = h_{2} (n) & = 0 otherwise \end{aligned}

$\begin{align*} h_1(0) &= a \\ h_1(1) &= b \\ h_2(0) &= c \\ h_2(1) &= d \\ h_1(n) = h_2(n) &= 0 \; \text{otherwise} \\ \end{align*}$

问题是是否可以构造参数 $a$ , $b$ , $c$ ，和 $d$ 以这样的方式，线性系统 $h_1 \ast h_2$ 将导致将 3 阶的移动平均值应用于输入。

好吧，我从卷积开始 $h[k] = h_1[k] \ast h_2[k]$ 为了 $k = 0, 1$ ：

h [k] = [a c, b c + a d, b d]

$\begin{equation} h[k] = [ac, bc + ad, bd] \end{equation}$

我知道对于 3 阶移动平均值，所需的卷积核如下所示：

[1 / 3, 1 / 3, 1 / 3]

$\begin{equation} [1/3, 1/3, 1/3] \end{equation}$

但这意味着我必须解决以下等式：

\begin{aligned} a c & = 1 / 3 \\ b c + a d & = 1 / 3 \\ b d & = 1 / 3 \end{aligned}

$\begin{align*} ac &= 1/3 \\ bc + ad &= 1/3 \\ bd &= 1/3 \\ \end{align*}$

这就是我卡住的地方。凭我的胆量，我会说这里不可能得到答案，因为即使 $a = 1$ 和 $b = 1$ , $c$ 和 $d$ 必须是 $1/3$ 和 $c + d$ 必须是 $1/3$ 也是。这是无法解决的。