这个重要的属性有几个证明，例如，在这个 wikipedia page on band-limiting和这个 dsp blog page 上。我没有详细检查它们，因此由您决定这些证明是否足够严格。

如果您接受Paley-Wiener 条件的真实性，我想展示另一个非常简单的证明：

平方可积函数$A(\omega)\ge 0$是因果函数的傅里叶变换的幅度当且仅当

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{|\log A(\omega)|}{1+\omega^2}d\omega<\infty\tag{1}$$

假使，假设$f(t)$是一个有时间限制的函数，即$f(t)=0$为了$|t|>T$， 和$F(\omega)$是它的傅里叶变换。然后$f(t-T)$是因果的，它的傅里叶变换是$F(\omega)e^{-j\omega T}$. 根据因果函数的 Paley-Wiener 条件，$A(\omega)=|F(\omega)e^{-j\omega T}|=|F(\omega)|$不能为零$|\omega|>\Omega$，无论选择$\Omega$, 因为否则积分$(1)$不是有限的。最后，$f(t)$不能有频带限制。

请注意，这个证明表明时限函数不能是带限的，但它也表明带限函数不能是时间限制的，因为如果带限函数的傅里叶逆变换是有时间限制的，它可以通过时域中的适当移动来产生因果关系，这不会改变其幅度谱。所以它需要满足 Paley-Wiener 条件，我们已经证明这对于带限函数是不可能的。

这是一个不需要不确定性原理的论点。

认为$y(t)$是一个不等于零的信号，通过傅里叶变换$Y(f)$. 让$s(t) = \text{rect}(t/T)$一个持续时间的矩形脉冲$T$和傅里叶变换$S(f) = |T| \text{sinc}(T f)$.

然后，$x(t) = y(t)s(t)$是具有傅里叶变换的时限信号$X(f) = Y(f) \ast S(f)$. 自从$S(f)$有无限的支持，也有$X(f)$.

由于任何限时信号$x(t)$可以用这种方式定义一个合适的选择$y(t)$和$s(t)$（以及不影响结果的可能时移），那么我们可以说所有这些信号都具有无限带宽。

相同的论点可以应用于傅里叶逆变换：对信号进行频带限制涉及乘以频域中的矩形脉冲，或与时域中的正弦波进行卷积，从而产生无限持续时间的信号。