信息处理 - DFT 中泄漏现象的基础及其与 sinc 函数的逼近 - 吾爱随笔录

DFT 中泄漏现象的基础及其与 sinc 函数的逼近

信息处理自由度

2022-02-20 05:36:48

我试图了解使用 DFT 时的泄漏现象。下面我指的是里昂：了解数字信号处理（第 2 版），第 69-71 页。

具有实值余弦 $N$ 样本作为输入，N 点 DFT 的幅度响应可以近似为（根据 bin 索引 $m$ )

$|Y(m)|\approx\frac{N}{2}\operatorname{sinc}(k-m)$ ,

在哪里 $k$ 是内部的循环数 $N$ 样品。

如果 $k$ 是一个整数，只有 1 个 bin 非零。否则会发生频谱泄漏。到现在为止还挺好。

现在我想使用以下代码在 Matlab 中复制它。

N = 32;                % No of samples
fs = 32000;            % sampling frequency
m = linspace(0,N-1,N);
k = 8.5;               % No of cycles within N samples
X = sin(2*pi*k/N*m);   % cosine signal
Y = fft(X);
f = linspace(0,fs*(N-1)/N,N);
stem(f,abs(Y));hold on

和 $k$ 作为整数，没有泄漏。

但是，使用 $k=8.5$ 在 8 kHz 和 9 kHz 处产生峰值，尽管幅度略有不同（ $|Y((8 \text{kHz})/f_\text{s})|=10.15$ 和 $|Y((9 \text{kHz})/f_\text{s})|=10.25$ ）。在我的参考书中给出了 10.17 号。

我的问题是：

两个峰不应该完全一样吗？为什么他们不是？
另外，我已经绘制了函数 $|Y(m)|$ 与“连续” $m$ . 原始光谱的 bin 应该正好在得到的 sinc 函数上。然而，我们离 8.5 kHz 越远，差异越大。DFT bin 不只是底层连续光谱的“未覆盖”部分吗？

2个回答

不，两个峰不需要相同。离散时间傅里叶变换 (DTFT)（其样本由 DFT 计算）对于正弦曲线的频率也不是对称的（如 Robert 的评论中所述）。如果您计算截断正弦曲线的 DTFT

x [n] = \sin (ω_{0} n) (u [n] - u [n - N])

$x[n]=\sin(\omega_0n)(u[n]-u[n-N])$

你得到

X (e^{j ω}) = \frac{1}{2 j} (e^{- j (ω - ω_{0}) \frac{N - 1}{2}} \frac{\sin (\frac{(ω - ω_{0}) N}{2})}{\sin (\frac{ω - ω_{0}}{2})} - e^{- j (ω + ω_{0}) \frac{N - 1}{2}} \frac{\sin (\frac{(ω + ω_{0}) N}{2})}{\sin (\frac{ω + ω_{0}}{2})})

$X(e^{j\omega})=\frac{1}{2j}\left(e^{-j(\omega-\omega_0)\frac{N-1}{2}}\frac{\sin\left(\frac{(\omega-\omega_0)N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega-\omega_0}{2}\right)}-e^{-j(\omega+\omega_0)\frac{N-1}{2}}\frac{\sin\left(\frac{(\omega+\omega_0)N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega+\omega_0}{2}\right)}\right)$

括号中的第一项的主要贡献是 $\omega=\omega_0$ ，而第二项有它 $\omega=-\omega_0$ . 请注意，这两个函数不是 sinc 函数；只为 $\omega$ 很接近 $\omega_0$ （或者 $-\omega_0$ ) 可以用 sinc 函数来近似。这仍然没有考虑到它们的重叠。

所以你的结果是正确的，下图显示了你在 DTFT 之上的 DFT，如上计算：

这是 DTFT 图的 Matlab/Octave 代码：

N = 32;
k = 8.5;
fs = 32000;
w = 2 * pi * linspace(0,1,500);
w0 = 2*pi*k/N；
X = exp(-1i*(w-w0)*(N-1)/2) .* sin(N/2*(w-w0))./sin((w-w0)/2);
X = X - exp(-1i*(w+w0)*(N-1)/2) .* sin(N/2*(w+w0))./sin((w+w0)/2);
X = X/(2*1i);
绘图(w*fs/(2*pi),abs(X))

对于严格采样的真实数据，Sinc 函数将在无限频谱上周期性重复（这是允许欠采样起作用的原因）（称为 Dirichlet 核的总和），并且无限系列的 Sinc 函数将被共轭镜像（需要抵消真实数据中的任何虚部）。

来自共轭镜像 Sinc（具有假定对称 Sinc 的形状）的“干扰”对于 DC 和 Fs/2 附近的频率峰值特别大，其中 2 个 Sinc 的较高部分重叠。（因此，在 Fs/4 附近，共轭镜像干涉会更小，如果您想看到对称性，请使用该频率）。

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