信息处理 - 下采样然后上采样 - 吾爱随笔录

鉴于此系统：

我需要将的显示为的 \mathcal Z -transform 的函数。 $\mathcal Z$ $y[n]$ $\mathcal Z$ $x[n]$

现在我知道仅针对下采样：

Y (z) = \frac{1}{M} \sum_{m = 0}^{M - 1} X (e^{\frac{- j 2 π m}{M}} \cdot z^{\frac{1}{M}})

$Y(z) = \frac1M\sum_{m=0}^{M-1} X\left(e^\frac{-j2\pi{m}}M\cdot z^\frac 1M\right)$

仅用于上采样：

Y (z) = X (z^{M})

$Y(z) = X\left(z^M\right)$

我的问题是我不太了解上采样将如何影响下采样方程。假设我们将下采样和上采样之间的点称为，我们得到： $w[n]$

\begin{aligned} Y (z) & = W (z^{M}) \\ W (z) & = \frac{1}{M} \sum_{m = 0}^{M - 1} X (e^{\frac{- j 2 π m}{M}} \cdot z^{\frac{1}{M}}) \end{aligned}

$\begin{align}Y(z) &= W\left(z^M\right)\\ W(z) &= \frac1M\sum_{m=0}^{M-1} X\left(e^\frac{-j2\pi{m}}M\cdot z^\frac 1M\right)\end{align}$

我不确定我是否会得到：

Y (z) = \frac{1}{M} \sum_{m = 0}^{M - 1} X (e^{\frac{- j 2 π m}{M}} \cdot z)

$Y(z) = \frac1M\sum_{m=0}^{M-1} X\left(e^\frac{-j2\pi{m}}M\cdot z\right)$

或者：

Y (z) = \frac{1}{M} \sum_{m = 0}^{M - 1} X (e^{- j 2 π m} \cdot z)

$Y(z) = \frac1M\sum_{m=0}^{M-1} X\left(e^{-j2\pi{m}}\cdot z\right)$

或者甚至是别的东西。

我会很高兴对这个主题进行一些澄清，因为我对此感到非常困惑，我无法在任何地方找到解决方案，谢谢。