为什么傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例？

拉普拉斯变换产生复数值的二维曲面，而傅里叶变换产生复数值的一维线。傅里叶变换是沿 jω 轴对拉普拉斯变换进行切片时得到的。例如，一个简单的低通滤波器$H(s)=\frac{1}{s+1}$在原点左侧的 S 平面中有一个极点：

从侧面看，这个拉普拉斯变换的幅度形成了一个表面，极点就像一个帐篷杆，在该点将幅度提高到无穷大（并且在无穷大处隐含零，使幅度越远离你在任何方向得到的原点）：

如果现在只取沿 jω 轴的曲面值，那就是傅立叶变换。就是上图中的红色曲线，你可以看到它形成了一个低通滤波器。如果您将极点从原点移得更远，帐篷将沿相同方向移动，沿 jω 轴的切片将下降，这会降低增益（我们通过增加总增益来补偿）并增加截止频率。我一直想为这样的东西制作一些动画......

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

如果您了解傅立叶变换，那么您可能已经有了将信号转换到频域的概念模型。拉普拉斯变换提供了信号的另一种频域表示 - 通常称为“S 域”，以将其与其他频域变换（例如 Z 变换 - 它本质上是拉普拉斯变换的去离散等效项）区分开来。

什么是信号时刻？

正如您无疑知道的那样，拉普拉斯变换从信号的时刻给我们一个信号的描述，类似于傅里叶变换如何从相位和幅度给我们一个描述。

从广义上讲，一个时刻可以被认为是样本如何偏离信号的平均值 - 第一个时刻实际上是平均值，第二个是方差等等......（这些统称为“分布时刻”）

给定我们的函数 F(t)，我们可以计算 t=0 处的 n'th 导数以给出我们的 n'th 时刻。正如一个信号可以完全用相位和幅度来描述一样，它也可以用它的所有导数来完全描述。

为什么傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例？

如果我们看一下双边拉普拉斯变换：

替换应该很明显$s=i\omega$将产生熟悉的傅里叶变换方程：

关于这种关系有一些注释（http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform），但数学应该是相当透明的。

我见过的对拉普拉斯变换最直观的描述：

乍一看，拉普拉斯变换的策略似乎与傅里叶变换相同：将时域信号与一组基函数相关联以分解波形。不对！尽管数学原理大致相同，但这两种技术背后的基本原理却大不相同。

拉普拉斯变换可以看作是用各种指数衰减的正弦曲线探测系统的脉冲响应。产生抵消的探测波形称为极点和零点。

这允许我们而不是描述每个频率响应$\omega$使用一小组特征点来确定系统在所有其他点中的行为（包括$s$-飞机$s=j\omega$这是一个频率响应）。

在一本书中有一个很好的类比：

现在，想想你如何理解火车路线上的海拔和距离之间的关系，与售票员的关系相比。由于您沿途直接测量了海拔高度，因此您可以正确地声称您对这段关系了如指掌。相比之下，售票员知道同样完整的信息，但以更简单和更直观的形式：导致沿路径倾斜和驼峰的山丘和山谷的位置。虽然您对信号的描述可能包含数千个单独的测量值，但导体对信号的描述将仅包含几个参数。

就线性代数而言，函数可以表示为具有无限个分量的向量（在希尔伯特空间中，正如他们在物理学中所说的或$L2$数学空间）。函数集$e^{-st}$与复杂$s$形成一个向量空间，傅里叶和拉普拉斯变换 X(s) =$\int_{a}^{ \infty} x(t) e^{-st}$是一个投影$x(t)$到$e^{-st}$，即具有基函数的内积$e^{-st}$. 这里$a= -\infty$对于傅立叶和$0$为拉普拉斯。

现在在傅里叶的情况下，你的基函数是$e^{-iwt}$与真实$w$（频率的正弦和余弦$w$）。因此傅里叶变换是$x(t)$具有单一频率的基函数$w$.

在拉普拉斯的情况下，基函数是$e^{-(\sigma + iw)t}$, 与实$\sigma$和$w$， IE$e^{-\sigma t} (cos(wt) + i sin(wt))$, 拉普拉斯变换就像一个内积$x(t)$以频率为基函数$w$并以指定的速率衰减$\sigma$.

变换给你一个权重$s$, 逆变换是所有基函数的线性组合$e^{st}$其中正向变换是权重，给你回$x(t)$.