信息处理 - 如何ZZ-transform的“收敛区域”工作？ - 吾爱随笔录

如何ZZ-transform的“收敛区域”工作？

信息处理离散信号 z变换

2022-01-16 13:23:39

我是 DSP 的新手，我对变换及其收敛区域 (ROC) 几乎没有疑问。 $\mathcal Z$

我知道变换是什么。但是我在理解 ROC 时遇到了麻烦。首先，我对和有一些困惑。通过交换这些条款，我很容易被抓住。我知道 ROC 定义了变换存在的区域。来自网络和我的书指出： $\mathcal Z$ $X(z)$ $x(z)$ $\mathcal Z$

如果是一个有限持续时间序列，则 ROC 是整个平面，除了可能或。有限持续时间序列是在有限区间 $x[n]$ $z$ $z = 0$ $\lvert z\rvert = \infty$ $n_1 \le n \le n_2$

后来它说：

当时，将有一个项，因此 ROC 将不包括。当时，总和将是无限的，因此 ROC 将不包括。 $n_2 > 0$ $z^{-1}$ $z=0$ $n_1 < 0$ $\lvert z\rvert=\infty$

这就是我卡住的地方！他们在上面的行中试图说什么“当时会有一个项，因此 ROC 将不包括 $n_2 > 0$ $z^{-1}$ $z=0$ =0是什么意思？替换为，如果是，则在哪个等式中？ $z=0$ $z$ $0$

我们如何计算无限序列的收敛区域？

1个回答

老实说，我认为 Z 变换背后的理论在大学里也有点不透明。事后看来，学习复杂分析课程会更清楚。而且我也不喜欢似乎用于这些东西的符号约定。严格来说，这里通常的约定是

表示离散时间序列
- $n\in \mathbb{Z}$
- 括号表示离散参数
表示连续值变换函数
- $z\in\mathbb{C}$ （是一个复数）
- 括号表示接受连续值参数的函数
- 大写的表示某个其他函数/序列的变换版本（类似的符号用于傅里叶变换： $X$ $x$ $F(j\omega)\leftrightarrow f(t)$

z=0 是什么意思？他们是否将 z 替换为 0，如果是，则在哪个等式中？

他们的意思是，只需将插入您通常定义的 Z 变换。 $z=0$

$X(z) = \sum_{n=\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$

通常（更准确地说，当用于某些时），对于某些复数，该总和将发散（到无穷大）。例如，让和表示 $x[n] \ne 0$ $n \ne 0$ $z$ $x[0] = 1, x[1] = 1$ $x[n]=0$ $n<0$ 和 $n>1$ . 然后 $X(z) = 1 + z^{-1}$ . 中华民国不包括 $z=0$ ，为了 $\lim_{z\rightarrow 0} X(z)=\infty$

当您的文本说“当时会有一个项，因此 ROC 将不包括 $n_2>0$ $z^{−1}$ $z=0$ ”，他们的意思是，当对于某些时，z 变换不可避免地包含一个处发散到无穷大。就这样。 $x[n]$ $n>0$ $z^{-n}$ $z=0$

我们如何计算无限序列的收敛区域？

很多数学。哈！

srsly，这样做的方法是获得所讨论序列的代数公式，将其插入 Z 变换定义，并使用几何级数（和复幂级数）分析中可用的工具来确定这个 Z -transform 收敛/发散。在实践中，确定是否收敛是需要回答的最重要的问题，因为这决定了稳定性，以及您是否可以从系统中获得频率响应等。但因果关系也可能很重要，具体取决于您正在做。 $|z|=1$

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