我认为你让这比它需要的更复杂。

傅立叶和自相关积分的定义范围为$-\infty$到$+\infty$。这总是正确的，也是最安全的编写方式。

$[0,T]$支持有限的函数进行积分，那么您也可以将积分间隔调整为 $[0,T]$。支持区间之外的区域全为零，因此无论是否将它们包含在积分中都没有区别。在这种情况下，两个版本都是相同的，并且两个版本都是正确的。您可以使用对您的特定问题或应用程序更实用的任何一种。

在您的具体示例中：如果支持 那么它的自相关也仅支持。或上执行傅里叶积分来计算 PSD 。两者都是正确的，并且都会给您相同的结果。$u(t)$$[0,T]$$r_{uu}(t)$$[0,T]$$[-\infty,+\infty]$$[0,T]$

$S(f)$具有无限支持，因此您需要将用于逆傅里叶积分。$[-\infty,+\infty]$

$$S_{uu}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}r_{uu}(t) \cdot e^{-j \omega t} d \omega = \int_{0}^{T}r_{uu}(t) \cdot e^{-j \omega t} d \omega$$

$$r_{uu}(t)= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} S_{uu}(\omega) \cdot e^{+j \omega t} d \omega$$