在这个寻找逆系统（如果存在）的问题中，尝试对积分进行微分是很直观的，因为系统输入/输出由下式给出：

$$y(t) = \mathcal{T}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{3t} x(\tau) d\tau$$

然而，在微分 te 积分之前，我想做这个小改动，我假设很清楚：

$$y(t/3) = \mathcal{T}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$$

然后我区分等式的两边：

$$\frac{d}{dt} \left( y(t/3) \right) = \frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$$

如下： 产生逆系统。

$$\frac{1}{3} y'(t/3) = x(t)$$

请注意，具有可变限制的积分的微分称为莱布尼茨规则，可以总结如下：

给定 然后

$$F(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} g(x,t) dt$$ $$\frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} g(x,t) dt$$ $$F'(x) = g(x,\beta(x)) \beta'(x) - g(x,\alpha(x)) \alpha'(x) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{d}{dx} g(x,t) dt$$