我认为通常（在信号处理书籍中）以极坐标形式编写z变换，以明确其与傅里叶变换的关系，即z变换等于单位圆上的傅里叶变换，即当r = 1时， 然后：

Ztransf-> <- 傅立叶变换或只是$z=r*e^{jw}=e^{jw}$

$z=e^{jw}$

变量是复数，它既可以用极坐标形式表示，也可以用它的实部和虚部来表示。极坐标形式是优选的，因为收敛区域 (ROC) 由的大小）确定。 -transform的定义之和中，这将变得很清楚$z$$z=re^{j\phi}$$r$$z$$\mathcal{Z}$

$$x[n]z^{-n}=x[n]r^{-n}e^{-jn\phi}\tag{1}$$

从可以清楚地看出，的值决定了级数的收敛性。这就是为什么来指定。. 对于双边 -transform，ROC 是一个环（，其中），而对于单边 -transform，ROC 在 a以复平面原点为中心的圆 ( , )。$(1)$$r$$\mathcal{Z}$$r=|z|$$\mathcal{Z}$$a<|z|<b$$b>a\ge 0$$\mathcal{Z}$$|z|>a$$a>0$

请注意，对于拉普拉斯变换，复变量出现在指数中，因此 s 的实部了拉普拉斯变换的 ROC。这些是拉普拉斯变换和变换在 ROC 方面的对应关系：$s$$s$$\mathcal{Z}$

$$\begin{align}&s\text{-plane }&&z\text{-plane}\\\\ &\text{right half-plane} && \text{region outside a circle (centered at the origin)}\\ &\text{vertical strip} && \text{ring (centered at the origin)}\\ &\text{left half-plane} && \text{region inside a circle (centered at the origin)} \end{align}$$

平面中的轴对应平面中的单位圆，即如果单位圆是ROC的一部分，则存在DTFT，如果对应的序列是LTI的脉冲响应系统，则系统稳定。$j\omega$$s$$z$

我认为由于使用 dtft 以及我们在 z 平面上解释它的方式，到那时我们更喜欢使用 z 变换而不是傅立叶变换。

关于 z 的确切形式有很多讨论，如果您将 z 用于解析序列，最好使用极坐标，因为您使用具有 epsilon 半径的环，如果您不使用此介绍，您将有更多的序列，比如 sinc 的 2 次方，你在第一个定义中找不到任何 zt。