信息处理 - 函数的频谱分析 - 吾爱随笔录

我在 Math SE 上问过这个问题，但没有收到任何回复。我希望这是一个相关的论坛来提问。

我想分析以下函数的频谱：

f (t) = \cos (t \cdot a (1 + b \cos (c t)))

$f(t)=\cos(t\cdot a(1+b\cos(ct)))$ 和

a, b, c

$a,b,c$ 一些实际参数。由于该函数是非周期性的（也许除非

a, b, c

$a,b,c$ 是微调），最自然的方法是对其进行傅里叶变换。但是手工做是相当可怕的，Wolfram Alpha aso 很挣扎，使用 Mathematica 我得到了

- i a \cdot \cos (\sqrt{2 π}) \cdot δ^{'} [ω] - a b c \cdot \cos^{2} (\sqrt{2 π}) \cdot δ^{″} [ω]

$-ia\cdot\cos(\sqrt{2\pi})\cdot \delta'[\omega] - abc\cdot\cos^2(\sqrt{2\pi})\cdot \delta''[\omega]$ 我只对结果的真实部分感兴趣。我现在正试图弄清楚我得到了什么。

1) Mathematica 结果对您来说是否合理？

2）从生成器函数的角度来看（如here），似乎有一个以零为中心的尖峰，在一些处伴随着更多的小峰。我发现这个结果令人惊讶，因为我预计频谱将以为中心，作为“主”频率，然后是一些较小的谐波或某种类似的函数。 $\pm\Omega$ $\Omega>0$ $a$ $sinc$

3) 遵循比完整傅里叶变换简单得多的参数，我尝试将其视为具有在“时间”( ) 中振荡的频率的函数。然后也许作为一个类比，我可以问自己哪些频率最有可能。在这种情况下，我可以将项视为均匀随机变量的余弦，因此概率密度函数实际上是 U 形的以的一般形式的函数给出（归一化等） $t$ $\cos(ct)$ $ct:= Y\sim Uni(-\pi,\pi)$ $a$

f_{Y} (x) = \frac{1}{π \sqrt{1 - x^{2}}}

$f_Y(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}}$

但这两种分析相距甚远，我想了解发生了什么。

对我的概率解释的一个反驳是，决定频率分量强度的项是傅立叶分解的系数（如果它是周期性的），这里这不是具有不同概率的频率的线性组合，而是一些别的。不过，我需要一些帮助来解释结果。谢谢！