信息处理 - 过冲计算不匹配 - 吾爱随笔录

过冲计算不匹配

信息处理连续信号线性系统阶跃反应

2022-01-29 20:02:31

取以下三阶系统的传递函数：

H (s) = \frac{2.302 s + 0.3548}{s^{3} + 0.739 s^{2} + 3.223 s + 0.3548}

$H(s)=\dfrac{2.302~s+0.3548}{s^3+0.739~s^2+3.223~s+0.3548}$

带杆：

         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    

 -1.13e-01                 1.00e+00       1.13e-01         8.89e+00    
 -3.13e-01 + 1.75e+00i     1.76e-01       1.78e+00         3.19e+00    
 -3.13e-01 - 1.75e+00i     1.76e-01       1.78e+00         3.19e+00

并具有以下单一阶跃响应：

如果我根据阻尼比计算百分比过冲 (PO) $\zeta=0.176$ ，我得到：

P O = 100 \times e^{\frac{- ζ π}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}} = 100 \times e^{\frac{- 0.176 π}{\sqrt{1 - {0.176}^{2}}}} = 57.02 %

$PO=100{\times}e^{\dfrac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}=100{\times}e^{\dfrac{-0.176\pi}{\sqrt{1-0.176^2}}}=\boxed{57.02\%}$

但是，如果我使用图形方法计算 PO（将峰值与最终值进行比较），我会得到完全不同的结果：

P O = \frac{v_{p e a k} - v_{f i n a l}}{v_{f i n a l}} \times 100 = \frac{1.2 - 1}{1} \times 100 = 20 %

$PO=\dfrac{v_{peak}-v_{final}}{v_{final}}{\times}100=\dfrac{1.2-1}{1}{\times}100=\boxed{20\%}$

我不明白为什么会有这种差异。为什么我的 PO 计算不匹配？

1个回答

计算部分分式展开，

H (s) = \frac{2.302 s + 0.3548}{s^{3} + 0.739 s^{2} + 3.223 s + 0.3548} \approx \frac{2.2861 - 0.0309306 s}{s^{2} + 0.626454 s + 3.1525} + \frac{0.0309306}{s + 0.112546}

$H (s) = \frac{2.302 s + 0.3548}{s^{3} + 0.739 s^{2} + 3.223 s + 0.3548} \approx \frac{2.2861 - 0.0309306 s}{s^2 + 0.626454 s + 3.1525} + \frac{0.0309306}{s + 0.112546}$

暂时让我们忽略一阶子系统的阶跃响应。请注意，二阶子系统具有以下形式

\pm γ (s - z) (\frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}})

$\pm \gamma (s - z) \left(\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}\right)$

在哪里 $\gamma \in \mathbb R$ 是增益（或衰减）和 $z \in \mathbb R$ 是（有限）零。但是，您用于计算阶跃响应超调的公式仅适用于以下形式的二阶系统

G (s) := \frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}

$G (s) := \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}$

其零点在无穷大。总而言之，超调比您预期的要小，因为：

你忽略了一阶子系统。
你忽略了衰减 $\gamma \neq 1$ .
你没有减去 $\gamma$ 乘以阶跃响应的导数 $G (s)$ 在高峰期。

在任何情况下，不忽略上述内容只会提供对超调的一种估计。要计算其精确值的令人满意的近似值，您可以进行拉普拉斯逆变换、微分并找到导数消失的位置。

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