原因是，如果任何$m$也为真。$m=kn$

我将以另一种方式勾勒出证明。

调用采样频率，其中为采样周期，两个信号和在采样时刻（混叠）具有相同的值，即。$f_s = 1/t_s$$t_s$$x(t) = \sin(2\pi f_0 t)$$x_k(t) = \sin(2\pi (f_0 + k f_s) t)$$x[n] = x_k[n]$

确实，

$$\begin{align} x[n] &= \sin (2 \pi f_0 n t_s) \\ x_k[n] &= \sin \left(2 \pi (f_0 + k f_s) n t_s\right) \\ &= \sin (2 \pi f_0 n t_s + 2\pi k f_s n t_s) \\ &= \sin (2 \pi f_0 n t_s + 2\pi k n) = \sin (2 \pi f_0 n t_s)\\ &=x[n] \end{align}$$

我认为最初引用的证明感觉不直观和不令人满意的原因是，在第一次阅读时，他们似乎选择了任何可能满足证明的旧整数（整数倍$n$当我第一次看的时候真的很困扰我）。然而，实际上，他们正在选择满足给定证明的确切且唯一的整数$k$在$\sin(2 \pi (f_0 + f_s k)n / f_s)$. 对于每个样本，$f_0 + f_sk$频率正好通过$nk$循环超过$f_0$确实如此，因此在样本处达到相同的值。

在我看来，绘制图表真的很有帮助，所以让我们考虑一下我们正在采样的情况$32$每秒次，并从基本频率开始$4$赫兹。服用$k=1$，我们可以绘制频率$f_0=4$和$f_1=4 + 32 \cdot 1$，并标记样本点：

查看前两个非零样本，您可以看到$f_1 = 4 + 32\cdot 1$尽管确实如此$1$和$2$循环次数多于$f_0$分别。这是有道理的，因为$k=1$对于第一个样本$n=1$第二个$n=2$.

下一个$f_0=4$和$f_2=4 + 32 \cdot 2$：

现在$k=2$, 我们看到$n=1$,$f_2= 4+32 \cdot 2$穿过去$2$额外的周期$n=1$和$4$额外的周期$n=2$，依此类推，都等于$nk$. 这对任何整数都是正确的$n$和任何整数$k$.

钥匙：