Jazzmaniac 在他的评论中指出了你所说的“傅立叶至上”的最重要原因。复指数$e^{st}$和$s=\sigma+j\omega$是卷积算子的特征函数：

$$e^{st}*f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{s(t-\tau)}f(\tau)d\tau= e^{st}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-s\tau}f(\tau)d\tau=e^{st}F(s)$$

其中特征值$F(s)$，如果存在，是拉普拉斯变换$f(t)$，并且对于$\sigma=0$，即对于$s=j\omega$,$F(j\omega)$是傅里叶变换$f(t)$（再次，如果它存在）。尽管傅里叶变换和拉普拉斯变换之间有几个重要的区别，但它们之间有着密切的关系，对于回答你的问题，它们的区别并不重要。以此类推，离散时间傅里叶变换和$\mathcal{Z}$- 离散域中的变换。因此，当我在回答的其余部分中提到傅立叶变换时，您不妨将其替换为拉普拉斯变换或$\mathcal{Z}$-transform，一切都将保持有效。

那么我们为什么要关注卷积算子的特征函数呢？因为卷积描述了线性时不变 (LTI) 系统的输入-输出关系，而这些系统通常是频率选择滤波器、积分器、微分器等实际重要系统的非常好的近似。

除了作为分析 LTI 系统的宝贵工具外，傅里叶变换还具有重要的物理解释，即信号的频谱，即频率内容。此外，FFT 是一种高效算法，用于计算有限长度信号的离散版本。

那么我们为什么不直接说我们在傅里叶变换及其兄弟变换方面做得很好呢？因为在某些应用程序中，我们正在寻找转换的其他属性。一个例子是信号分析中的时间定位，因为傅里叶变换的基函数由于其无限范围而根本没有时间定位。在这种情况下，其他变换已被广泛使用，例如短时傅里叶变换和小波变换。对于离散时间信号，滤波器组提供非常通用的信号扩展。它们可以设计为匹配信号扩展的所需属性。

由于您提到锯齿函数作为可能的基函数，我想向您指出用于图像编码的倾斜变换（在这个答案中提到）。此外，还有相关的Slantlet 变换，它是一种特殊类型的具有分段线性基函数的离散小波变换。您可以在本文的图 5 中看到基函数。

我将尝试推导找到离散信号空间的周期函数基的必要和充分条件，即集合$S_N:=\{f:{\mathbb{Z}}/{N\mathbb{Z}}\to\mathbb{C} :\sum_n |f(n)|^2 <\infty\}$所有平方幅度可累加的$N$-从整数到复数的周期函数。连续案例也很有趣，但超出了简单答案的范围。

关于我们可以立即认为是正确的基础有两种说法：

1）基函数的数量与傅立叶基函数的数量相同（假设复基函数）。

2) 基函数的周期必须划分$N$，即整数个基期必须适合该周期$N$的信号。

请注意，第二个条件并不总是导致基函数的整数采样周期。基函数的周期性因此被实现为周期性连续函数的离散采样函数，离散表示本身不一定是严格周期性的。

上面的两个语句允许我们枚举基函数。的整数除数的数量$N$肯定不大于$N$，这意味着所有整数除数周期都实现为基函数周期。让我们假设$N$是偶数（我把奇怪的情况留给你），那么$N/2$是一个整数除数，实现为基函数周期。这个基函数在离散样本网格上甚至是完全周期性的，可以写成数列$(a,b,a,b,\dots)\in\mathbb{C}^N$和$N/2$重复。

我们可以将这个基向量写成复数傅里叶级数，我们发现只有 DC 和 Nyquist 系数不会消失。这意味着基函数可以写成周期延拓的线性叠加$(1,1)$和$(1,-1)$.

在这一点上，我们可以假设您的基函数的均值为零，只是为了让事情更简单一些。在这种情况下，傅里叶分解的直流分量也消失了，基函数看起来就像相应的傅里叶基函数。同一时期也没有其他线性独立的基函数。

从这里开始，事情变得更简单了。下一个基函数候选已经适合一个周期$N$, 这意味着$N/2+1$重复和一段时间$N/(N/2+1)$. 这一时期的候选基函数具有傅里叶分解（再次假设为零均值），该分解仅在 Nyquist 和 Nyquist-1 处不为零。如果 Nyquist-1 处的系数不消失，这仅与我们已经知道的基函数线性无关。这也意味着我们可以在此期间拥有两个独立的基函数（这通常是一个基函数及其复共轭）。

我们可以通过添加另一个基期、查看傅里叶级数、强制线性独立并找到两个独立的基函数来继续这种构造。这个过程可以重复$N/2-1$次，再加上负责直流分量的常数基函数，我们得到了$N$可逆性所需的基函数。

如果我们在过程中做出的假设是正确的，那么构造的基础就是一个“转换”（即双射映射）。必要条件是，周期基的最低阶傅立叶系数在其自身固有周期内扩展，不会消失。我们还假设，基是零均值（除了常数基函数）并且$N$是平的。这些不是必需的，只是方便。如果你愿意，你可以放下它们。

所以让我们总结一下。如果基周期的傅立叶系数不为零，则周期函数会在离散空间上产生基。那么基础意味着一个离散的类傅里叶变换，即它是可逆的。

干杯，

爵士乐

有很多。拉普拉斯变换只是一个例子。有无数的双射变换。所以问题是是否还有其他有用的转换。原来，有一些。