傅里叶变换如何处理频率随时间变化的信号的直觉?

信息处理 fft 频率 傅立叶
2022-02-09 05:27:52

我创建了一个以 44.1kHz 采样的离散信号,即 330Hz 为 1 秒,360Hz 为 0.5 秒,390Hz 为 0.25 秒。我对此进行了 FFT 变换,得到了下面的幅值图:

在此处输入图像描述

我不明白这个幅度信息(结合未显示的相位信息)如何重建原始信号。我知道确实如此——我不是要证明。我希望有人能提供直觉,了解奇怪的锯齿状 FFT 图像如何最终重建原始信号。

2个回答

每个频率突发相当于无限正弦曲线上的一个矩形窗口。时域中的矩形窗口与频域中具有 Sinc 函数的循环卷积相同。因此,对于每个频率,您最终都会得到一个带有侧峰的尖峰(正弦曲线的尖峰,以及由于与矩形窗口变换的卷积而产生的峰)。

然后,由于 FFT 运算是线性的,因此 3 个正弦脉冲串或等效的 3 个尖峰组仅分别在时域和频时域中相加。

您是正确的,因为相位信息对于重建很重要。FFT 相位结果包括有关每个正弦脉冲的每个(在您的情况下不重叠)矩形窗口的位置信息。在频域中扭转(或解开)每个尖峰群的相位,您将在时域中移动突发的位置(矩形窗口)。

正如 hotpaw2 已经说过的,时间包络信息包含在阶段中。让我们使用以下示例:单位脉冲具有平坦的幅度频率响应和零相位。如果您将该单位脉冲延迟 1 秒,则幅度响应保持平坦。然而,相位响应发生了巨大变化,并且是具有非常陡峭斜率的线性。延迟量通常可以通过计算群延迟从相位响应中恢复。在延迟脉冲的情况下,群延迟为 1s。

同样的事情也适用于您的三个正弦波信号:幅度响应主要由信号的长度和窗口形状给出,延迟由该频率区域中的群延迟决定。