信息处理 - 生成平滑的方波、三角波等 - 吾爱随笔录

生成平滑的方波、三角波等

信息处理平滑吉布斯现象

2022-01-25 06:31:07

我试图获得描绘平滑版本的波形（三角形，方形，锯齿，反向锯齿）的函数，它们具有与相同的幅度和频率。 $cos(x)$

我发现了一些描述这种波形的三角函数：

$\delta=0.05$ ,

$Square_{smooth}=2.1\tan^{-1}(\sin(\pi x/3)/\delta)/\pi$

$Triangle_{smooth}=1.25-5\cos^{-1}((1-\delta)\sin(\pi x/3.2))/(2\pi)$

$h=12.5$ ,

$Sawtooth_{smooth}=-1.5 + 3((x/6-0.5) -(\tanh((((x/6-0.5)+0.5)-\lfloor{(x/6-0.5)+0.5}\rfloor-0.5)h)/(2\tanh(0.5h))+\lfloor{(x/6-0.5)+0.5)}\rfloor-0.5))$

但不幸的是，它们没有相同的幅度或频率。我认为可能适用于，但我仍在寻找修复和的方法，有人有什么想法吗？ $-cos(x)$ $Triangle_{smooth}$ $Square_{smooth}$ $Sawtooth_{smooth}$

2个回答

似乎幅度没有正确缩放。而不是 (2*A/pi) 使用 (A/atan(1/delta)) 似乎更合适。换句话说，我建议：

y = (A/atan(1/delta))*atan(sin(2*pi*t*f)/delta);

下图说明了两种缩放方法之间的差异。对于低值delta，差异并不明显，但对于高delta值，幅度会偏离所需的值。可以使用下面的 MATLAB 代码复制图像。

t=linspace(0,2*pi,500);
delta = 0.1;
A = 1;
f = 1/(2*pi);
y1 = A*sin(2*pi*t*f);
y2 = (2*A/pi)*atan(sin(2*pi*t*f)/delta);
y3 = (A/atan(1/delta))*atan(sin(2*pi*t*f)/delta);

figure; hold on;
h1=plot(t,y1,'r-','LineWidth',5);
h2=plot(t,y2,'g-','LineWidth',4);
h3=plot(t,y3,'b-','LineWidth',2);
legend([h1 h2 h3],{'Sine','Smooth square wave','Corrected smooth square wave'},'Location','SouthOutSide');
axis tight; axis square;
set(gca,'FontSize',15); grid on; box on;
drawnow;

因此，“平滑”（可微分，没有吉布斯效应）方波可以定义为（来源。）参数控制幅度，控制频率。例如，使用和的 Matlab ：

s_{s s} (t) = \frac{2 A}{π} \arctan [\frac{\sin (2 π t f)}{δ}] .

$s_{ss}(t)=\frac{2A}{\pi}\arctan\left[\frac{\sin(2\pi tf)}{\delta}\right].$

A

$A$

f

$f$

A = 1.5

$A=1.5$

f = 2

$f=2$

t = 0:1/100:2;
delta = 0.01;
A = 1;
f = 2;
smoothsq = (2*A/pi)*atan(sin(2*pi*t*f)/delta);
plot(t,smoothsq);
axis([-0.2 2.2 -1.6 1.6]);

产生情节：

类似的东西应该适用于其他波形。

其它你可能感兴趣的问题

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