从插值和采样中这个定理的历史开始可能会很有趣：ET Whittaker、K. Ogura 及其追随者，作者 Butzer等人。

撇开历史不谈，基本定理的主要内容是人们应该避免说比率“应该”或“必须”高于某事。这可能是充分条件，但不是必要条件。一个版本是，带有“如果”：如果$X(f)=0$为了$|f| > B$, 采样率高于 $2B$理论上允许您从定期采样的序列中恢复信号：

有更温和的版本，但这一个表明如果你选择，你应该特别小心，危险地，$B$这样$X(B)\ne 0$. 例如你的正弦，它的频谱不是$0$在$B=f_0$. 但 is 只是一个if。

在附加条件下，一些非带限信号仍然可以完美采样。一些信号可以在$B$即使他们的频谱不会消失在$B$. 并且可以以较低的速率对某些信号进行采样。特别是当信号是带限的。@JasonR已经指出欠采样，并在带通采样理论、Vaughan等人中进行了处理。，并且已经在带通信号的最小采样率中讨论过。

我对我对这些文献的理解没有那么自信。然而，在具有实际带通信号的有利情况下，两倍的有效带宽就足够了，它可能远低于最大频率的两倍。对于频谱由非零频率段的联合组成的信号，还有其他定理。

在提到这样的结果时，我相信真正的问题是不同的。在某些文本中，作者（错误地）将他们所谓的“带宽”与距离$0$频率到最大频率。特别是在没有详细说明的文本中，例如上述和其他答案中。

所以在你的情况下，我认为这两门课程之间的差异可以用懒惰或平凡的谈话来解释。

但在实践中，您不能仅仅依靠这个定理：它需要您事先知道连续信号的频谱，而在许多情况下您并不知道这一点。物理建模和模拟滤波可以为您提供帮助，但在现实生活中，有限精度量化、信号抖动、噪声，尤其是有限长度信号（不能有有界频谱）有助于采取更多预防措施并选择足够高两倍于最大值的采样频率频率（或带宽，如果适用）。

一个潜在的附加讲座：采样：奈奎斯特没有说什么，以及如何处理它。

问题显然是关于奈奎斯特采样率的。所以这个答案是严格关于奈奎斯特采样的定义，并避免谈论实际上不相关的方法，如带通采样等（并且鉴于 OP 已经与其定义混淆会导致更多混淆）。

奈奎斯特速率是信号最高频率成分的两倍。

这是奈奎斯特率的一般定义。为了$x(t)=\cos(2\pi f_0t)$，奈奎斯特率为$2f_0$. 它适用于所有信号模型（低通、带通、音调……）

采样频率应至少是信号带宽的两倍。

这是带限信号的奈奎斯特速率$x(t)$带有低通模型。也就是说，假设$X(f)$是信号的频谱，$|X(f)|=0$为了$|f|>B$. 显然，由于信号的最高非零频率分量在$f=B$，您之前对奈奎斯特率的定义也是有效的。

但由于$x(t)=\sin(2\pi f_0t)$不是低通信号（它只是一个音调），后者的定义没有意义（正如你所指出的）。因此，第二个定义中对“带宽”的更准确解释是低通带宽，它是信号中从零频率到最高频率的频谱。尽管在以下情况下这几乎为零$\cos(2\pi f_0t)$并且仅在$f=f_0$, 但仅适用于$|f|>f_0$我们有$|X(f)|=0$（根据第二个定义“带宽”将是$f_0$在这里）。

我会将其发布为评论但没有足够的代表，所以：

您可以考虑由于特定信号的最高频率而产生的采样要求。当您使用术语“带宽”时，您正在查看信号频谱的宽度，它是信号带宽的两倍，即最高频率减去最低频率。

在正弦曲线的例子中，频谱的“宽度”仍然是最大频率减去较低频率的差值，较低频率是信号带宽的两倍，就像前面的例子一样。碰巧最高和最低频率是δ函数$\delta(f + f_0)$和$\delta(f - f_0)$并且正弦曲线以 0 频率为中心。所以带宽只是频谱中的最高频率增量，位于$f_0$. 所以在这种情况下，“带宽”和“最高频率”指的是同一个东西。然而，使用术语“带宽”更为笼统。

如果您想从 DC 采样基带和带限频谱$\cos(2 \pi f_0 t)$ 在有限的时间段内，采样频率应高于 $2 f_0$以免丢失有关该范围内任何频率的信息。采样时间越短，需要的采样频率越高$2 f_0$对于给定的 S/N 和精度要求。

如果已知带宽非常窄（例如远小于$f_0$，降至零），并且在已知范围内，则可能需要非常低的采样率，甚至低于$2 f_0$，下降到信号带宽的两倍以上（只要带宽范围不超过折叠频率的整数倍或采样率的一半）。这称为欠采样。

并且可能需要很少的点（3 或 4 个非混叠点）来估​​计零噪声中已知纯正弦波方程的所有参数。请参阅：http ://claysturner.com/dsp/3pointfrequency.pdf和http://claysturner.com/dsp/4pointfrequency.pdf