零填充是使用 sinc 函数（或内核）的有用插值工具。我将在下面分3部分解释它。第一：什么是DFT；第二：补零；第三：使用零填充。

（一种）$\textbf{What is DFT}$：通过对数据集进行 DFT，我们将数据值从当前离散域（许多情况恰好是音频信号中的时间示例；它也可以是图像的空间坐标）映射到离散频域。使用变换做这个映射是一个矩阵（因此是线性的），它总是满秩的，映射总是可逆的，没有任何信息内容的损失。例如，我们可以对获得的 dft 进行 idft 并重新获取我们开始使用的相同数据或没有丢失！

为什么要转到表示相同数据的另一个域（所谓的变换（此处为频率）域）？好吧，（现实生活中的笔记）当我们试图做出决定时，我们希望看到摆在我们面前的事实。我们不希望不必要的事实和好恶在我们的脑海中徘徊。它与信号处理类似。当我们想要分析数据时，我们希望在我们拥有的这种表示域中查看数据，

• 仅在该域的局部点中集中信息
• 域对我们拥有的数据进行了某种物理解释（这是一个超级加分点）

因此很明显，通过使用 DFT，我们想看看我们是否可以从上述两个中获益。当然，如果数据本身具有 DFT 矩阵的一列，我们已经从基于 DFT 域的表示中获得了最大值，即理想情况下，映射域值中只有一个点具有非零值。现在假设信号不能使用 DFT 矩阵的任何一列来表示。然后 DFT 将尝试通过 DFT 矩阵的列的最小混合数来表示数据，即只有少数映射的域值将具有非零值。那么，哪种类型的数据会做到这一点：那些与 DFT 矩阵列共享某些特征的数据，例如周期性的。 $A\ moral$：因此 DFT 可以很好地表示周期性数据，因为它基于非零值的数量给出了最小表示（幅度捕获了每列在构成原始域数据中的贡献）。

(二)$\textbf{ Zero-padding}$：在零填充中，我们首先将零填充到原始域中的数据，然后采用新的零填充信号的 DFT。这意味着通过零填充，我们增加了 DFT 矩阵中的列数（矩阵现在也是正交的），而原始域中没有添加新数据。有了这个，我们可以希望更深入地了解新添加的列在表示时域信号方面的贡献。请注意，我们之前所说的 N 点 DFT 在相同数据的后续 2N 点 DFT 中的那些 N 点上也会看到相同的结果。所以峰值幅度不会改变。（考虑到我们没有对 DFT 矩阵进行归一化）。现在，当我们考虑 iDFT 归一化因子时，这次我们必须归一化 1/2N 以获取相同的数据，而不是在前一种情况下按 N 归一化，而不是只选择 2N 点数据中的 N 个点。时域中的零填充也可以解释为 DFT 域中的 sinc 插值，以获得 2N-pont DFT 中新引入的列的贡献。这需要单独的详细说明。但是您可以通过绘制信号并将零填充信号视为原始假设为 2N 长度信号与矩形窗口的乘积，从而在频域中使用 sinc 函数进行卷积，从而轻松看到它。现在可能很清楚，我们并没有通过零填充 i 来提高频率分辨率。e 我们没有解析附近的两个频率，而是在现有 N 点 DFT 频率之间填充新频率，并找到它们对产生信号的贡献。只有通过更精细地采样数据或获取新的数据点才能提高频率分辨率，只有当我们是实验者时，我们才能掌握这些数据点。

（C）$\textbf{Applications of zero-padding}$：它用作频域插值工具，用于获取滤波器的旁瓣结构。它还用于通过频域中的零填充在时域中进行插值（或重新采样）。频域中的零填充需要注意以保持信号的原始相位。

希望这篇文章很清楚。如果您已经了解很多，可能会有很多冗余。

这与前一个问题的概括和Parseval 的相等性直接相关。当您通过零填充扩展频谱时，您会增加信号的大小。因为你没有改变它的总能量（因为你只添加了$0$'s)，你确实在傅里叶变换反演后划分了每个样本的幅度。

例如，考虑 DC 系数，它等于输入图像的平均值。将每个维度上的频谱大小加倍后：$(w,h) \rightarrow (2w,2h)$，以及傅里叶变换的反演，您获得的图像像素多 4 倍，但均值相同。因此，您确实将每个单独样本的值除以 4。每个系数的推理相同。

另一方面，如果您在反转傅里叶变换之前应用正确的缩放比例（在您的情况下将幅度乘以 2，在我的图像示例中乘以 4），您将获得幅度正确的缩放信号。

FFT 之前的零填充可为您提供更高密度的插值，这可以提高图形或绘图的分辨率，但它只是插值，而不是添加信息。任何更接近的光谱峰对或光谱中更精细的“皱纹”都不会出现，并且您可以在绘制非零之前使用适当的平滑曲线拟合算法（例如样条或 Sinc 内核插值）获得几乎相同的效果-填充的 FFT 结果。

如果您的 FFT 除以 N，则向其提供完全相同的数据，但使用更大的 N 分母（零填充后更宽的 FFT 孔径），将按两个 N 的比率重新缩放 FFT 结果。但并非所有 FFT 实现都除以 N。检查你的。