信息处理 - 延迟脉冲不会延迟频谱响应 - 吾爱随笔录

延迟脉冲不会延迟频谱响应

信息处理 fft 频谱卷积冲动反应

2022-02-20 09:14:01

受 Sarwate 博士对在时域中对信号进行采样时如何在频域中形成副本？，我决定亲自看看基本概念。

我解释了 Sarwate 博士的回答，即抽样是一个连续的活动。所需要做的就是将脉冲与要采样的信号相乘。这需要通过延迟/转移版本的冲动来重复。

时域中的乘法是频域中的卷积，反之亦然。我认为随着每个样本的脉冲移动，它的频谱响应也会在频域中经历类似的移动。但似乎并非如此。

我用八度音程编写了一个玩具程序，频率响应图并没有带来任何乐趣。我在这里误解了什么？

## Num Samples
N = 10;

## Row vector representing samples (all zeroed out)
x = zeros(1,N);
y = zeros(1,N);
z = zeros(1,N);

## Undelayed impulse (For lack of a better word)
x(1) = 10;

## Delayed by 1 sample
y(2) = 10;

## Delayed by 2 samples
z(3) = 10;

## Obtain spectrum of undelayed impulse
s_spectrum_x = fft(x);
s_spectrum_abs_x = abs(s_spectrum_x);

## Obtain spectrum of impulse delayed by 1 sample
s_spectrum_y = fft(y);
s_spectrum_abs_y = abs(s_spectrum_y);

## Obtain spectrum of impulse delayed by 2 samples
s_spectrum_z = fft(z);
s_spectrum_abs_z = abs(s_spectrum_z);

>>disp(s_spectrum_abs_x);
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

>>disp(s_spectrum_abs_y);
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

>>disp(s_spectrum_abs_z);
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

y 和 z 的初始 bin 不应该为 0 吗？

1个回答

卷积定理（“时间的乘法是频率的卷积”）指出：

F {x \cdot y} = F {x} * F {y}

$\mathcal{F}\{x\cdot y\}=\mathcal{F}\{x\}*\mathcal{F}\{y\}$

其中是两个时域信号，表示逐元素乘法，是卷积算子。因此，频域中的卷积是在原始信号的傅里叶变换之间进行的。 $x, y$ $\cdot$ $*$

例如，让我们使用您的脉冲与频率响应：

F {δ (t)} = 1

$\mathcal{F}\{\delta(t)\}=1$

此外，请注意 FT 的时移特性：

F {x (t - t_{0})} = F {x (t)} \exp (- j 2 π f t_{0})

$\mathcal{F}\{x(t-t_0)\}=\mathcal{F}\{x(t)\}\exp(-j2\pi ft_0)$

其中是您喜欢的任何信号。现在，您可以很容易地解释您为转移的冲动获得的结果： $x(t)$

F {δ (t - 1)} = F {δ (t))} \exp (j 2 π f)

$\mathcal{F}\{\delta(t-1)\}=\mathcal{F}\{\delta(t))\}\exp(j2\pi f)$

其中（由于离散 FT）。对于两班倒的情况类似： $f=[0/N, 1/N, 2/N, \ldots, (N-1)/N]$

F {δ (t - 2)} = F {δ (t)} \exp (- j 2 π f 2)

$\mathcal{F}\{\delta(t-2)\}=\mathcal{F}\{\delta(t)\}\exp(-j2\pi f2)$

请注意。您显示光谱的绝对值：对于您喜欢的任何这就是为什么您会看到三倍相同的输出。尝试分别绘制实部和虚部，然后您将看到时移的效果。你也可以看看这里，这是我写的一篇关于时移和频移效果的文章。 $\mathcal{F}\{\delta(t)\}=1$ $\left|X(f)\exp(j2\pi ft_0)\right|=|X(f)|$ $X(f)$

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