信息处理 - 我在傅里叶变换中犯了什么错误？ - 吾爱随笔录

\begin{aligned} X (f) & = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) {(e^{- j 2 π})}^{f t} d t & w h e r e e^{- j 2 π} = 1 \\ = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) (1)^{f t} d t, & b u t 1^{f t} i s a l w a y s 1 \\ = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) d t, & i . e . t h e a r e a u n d e r x (t) f r o m - \infty t o + \infty \end{aligned}

$\begin{align} X(f) & = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j2\pi ft}dt & \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\left(e^{-j2\pi} \right)^{ft}dt & \;\;\mathrm{where}\; e^{-j2\pi}=1 \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) (1)^{ft}\; dt, &\;\;\mathrm{but}\ \; 1^{ft} \; \mathrm{is\;always } \; 1 \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) dt, &\;\;\mathrm{i.e.\; the\; area\; under} \; x(t) \; \mathrm{from\; -\infty\; to\; +\infty} \end{align}$

但这似乎很奇怪！

我的错误在哪里？