让我们把信号写成一般形式$x(t)$

$$x(t)=e^{-\alpha t}\cos(\omega_0t)u(t)\tag{1}$$

请注意，它的能量由下式给出

$$E_x=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt=\int_{0}^{\infty}e^{-2\alpha t}\cos^2(\omega_0)tdt\tag{2}$$

由于这是一个家庭作业类型的问题，我不会为你解决它，但我会给你一些提示：

1. 的被积函数展开为 $(2)$ $$e^{-2\alpha t}\frac12(1+\cos(2\omega_0t))=\frac12e^{-2\alpha t}+\frac12e^{-2\alpha t}\frac12(e^{j2\omega_0t}+e^{-j2\omega_0t})$$
2. 现在你有两个基本指数函数的积分，这应该很容易解决。
3. 最终结果应该是 $$E_x=\frac{1}{4\alpha}+\frac{\alpha}{4(\alpha^2+\omega_0^2)}$$
4. 如果能量的幂，你能得出什么结论？$E_x$$x(t)$

$x(t)=e^{-\alpha t}\sin(\omega_0t)u(t)$称为阻尼正弦波。其傅里叶变换为 计算信号能量的直接方法是使用 Parseval 的恒等式来计算这个信号的能量：

$$X(j\omega)=\frac{\omega_0}{(\alpha+j\omega)^2+\omega_0^2}$$

$$E=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert x(t)\rvert^2dt=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert X(j\omega)\rvert^2d\omega$$

如果我们有附近有一个尖峰。所以例如在我们可以做$\omega_0>>\alpha$$\pm \omega_0$$\omega_0$

$$\lvert X(j\omega)\rvert\approx\frac{1/2}{\sqrt{(\omega-\omega_0)^2+\alpha^2}}$$ 并通过积分我们将得到以下结果 $$E\approx \frac {1}{8\alpha}+\frac {1}{8\alpha}=\frac {1}{4\alpha}$$

关于信号的功率，由于这是一个能量信号（即能量有界的信号），那么它的功率为零。相反的情况是能量无限的功率信号（即具有非零和有界功率的信号）。这种功率信号的一个示例是周期性信号，例如正弦和余弦（一侧或两侧）。

请注意，当时，该信号趋向于功率信号（纯正弦波），因此$\alpha\to 0$$E\to\infty$