信息处理 - 正弦信号的外推 - 吾爱随笔录

正弦信号的外推

信息处理过滤器自回归模型外推

2022-02-07 00:48:08

假设有一个离散信号是正弦曲线的总和，可以用来描述，其中是未知但我的信号的固定参数，是我的采样率，是在时间测量的样本。

s (n) = \sum_{i} A_{i} s i n (2 π f_{i} \frac{n}{f_{s}} + ϕ_{i})

$s(n)=\sum_i A_i \mathrm{sin}(2\pi f_i \frac{n}{f_s}+\phi_i)$

A_{i}, f_{i}, ϕ_{i}

$A_i, f_i, \phi_i$

f_{s}

$f_s$

n

$n$

t = \frac{n}{f_{s}}

$t=\frac{n}{f_s}$

在这个信号中，我测量了前个样本（），并且我还在点个样本。我现在对估计/预测/推断恰好位于我测量的块之间的单个。我不关心间隙中的所有其他样本。 $N$ $n=1,2,3...N$ $N$ $n=N+20000,....2N+20000$ $s(n=N+10000)$

估计我想要的样本的最佳和最有效的方法是什么？请注意，介于 100 到 1000 和我的采样率之间。 $N$ $f_s=100\mathrm{MHz}$

2个回答

一种自然的方法是使用总共个样本的两个块）来估计参数。幅度、频率和相位估计都是教科书式的方程，你可以查到，所以这里的问题是它们都混在一起了。如果您假设您不知道混合了多少正弦曲线，那么您还必须检测存在多少。基本的伪代码是： $2N$ $N$

Detect how many sinusoids there are
For each sinusoid:
    Estimate amplitude
    Estimate frequency
    Estimate phase
end
Reconstruct signal at n = N + 10000

检测有多少正弦曲线

您可以通过检测信号的 FFT 中有多少个峰值来做到这一点。正弦曲线将在其频率处出现峰值。在峰值处，曲线的斜率将从正变为负，因此斜率在峰值处有过零。对于离散信号，有不同的方法来计算斜率/导数，但我会先从简单的开始，然后再转向更复杂的方法。计算导数的一种简单方法就是差分会发生过零。这将为您提供零交叉的数量以及它们发生的位置。 $x_d[n]=x[n]-x[n-1]$ $x_d[n-1] > 0 > x_d[n]$

编辑

问题中提出的模型是无噪声模型，所描述的检测依赖于此。您仍然可以将这种过零方法用于噪声信号，但需要应用阈值，因为噪声会导致出现许多小峰值。需要阈值以仅保留具有足够能量的阈值。应该选择阈值以满足您想要的一些错误警报度量的概率。

估计 ...

正如我上面提到的，估计正弦曲线的幅度、频率和相位可以通过 FFT 峰值查找方法找到（我们已经找到了峰值的位置），所以我们都准备好了。

重构信号

现在我们有了所有的估计，您可以使用您的估计来计算您的方程。

\hat{s} (n + 10000) = \sum_{i} {\hat{A}}_{i} sin (\frac{2 π {\hat{f}}_{i} (n + 10000)}{f_{s}} + {\hat{θ}}_{i})

$\hat{s}(n+10000) = \sum_i \hat{A}_i \text{sin}\bigg( \frac{2\pi \hat{f}_i (n+10000)}{f_s} + \hat{\theta}_i \bigg)$

假设鼻窦的数量小于，这个问题就可以通过最小均方来解决。在相等的情况下，应该通过通常的矩阵发明来解决。 $N$

线性形式是通过用余弦 $\phi_i$

一旦估计了所有变量，就可以通过将新点简单地替换到表达式中来完成插值。

我认为Kay在最后描述了类似的过程

编辑

另一种选择是在未采样的位置填充零并使用通常的 FFT 频谱估计

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