信息处理 - 移位脉冲的筛选特性 - 吾爱随笔录

在 SE Chemistry 论坛上，有人发布了一个有趣的问题，关于通过卷积将缩放和移位的 delta 函数转换为洛伦兹函数，请参阅“模拟分子光谱”。OP 在他的 deltas' 与 Lorentzian 卷积后观察 x 轴上的变化。这显然是由于洛伦兹中心选择错误所致。

在卷积中，水平质心相加。所以我建议一个以零为中心的洛伦兹应该与偏移的 delta 进行卷积，之后在 x 轴上不会有偏移，即，如果 delta 函数在x=t处，在与一个以零为中心的洛伦兹进行卷积之后，将会在t - 所需位置成为 Lorentzian 。

另一位用户提出了另一种选择。他的建议是，也可以将 Lorentzian 以 x 轴值的平均值为中心， $\mu$ ，并将这个均值居中的洛伦兹与三角洲卷积。不会有任何变化，而且确实观察到了这一点。

查询是： 质心加入卷积。可以理解的是，当 delta 在x=t处移动时，洛伦兹函数以 0 为中心，因此得到的洛伦兹函数以 t+0=t 为中心。

现在，为什么另一种选择有效？这次三角洲在t，洛伦兹的中心在 $\mu$ ，得到的卷积应该在 t+ $\mu$ ，但三角洲仍然没有移动。得到相同结果的数学基础是什么？

这是用于演示的 MATLAB 代码。

%Assigning variable names
x=[6200:2:6700-2]'; % x axis
Int=cat(1, zeros(80,1), 1, zeros(169,1)); %
Delta= x(2,1)-x(1,1); % Sampling interval

% Zero centered Lorentzian parameter;
N=[-(length(x/2)):Delta:length(x/2)-Delta]'; % x-axis for the zero centered Lorentzian
A= 1; %amplitude
W= 10; %full width at half maximum
M=0; %centered peak

L1= A./(1+4*((N-M).^2/W.^2)); % Lorentzian equation


% Mean centered Lorentzian parameters
mu=mean(x)
L2=A./(1+4*((x-mu).^2/W.^2)); % Lorentzian equation

F1=conv(Int, L1, 'same');
F2=conv(Int, L2, 'same');

figure (1)
subplot(1,3,1)
stem(x, Int,'.');
xlabel('time'); ylabel ('signal'); title ('shifted impulse')
subplot(1,3,2)
plot(N,L1)
xlabel('time'); ylabel ('signal'); title ('zero centered Lorentzian for convolution')
subplot (1,3,3)
plot(x,F1)
xlabel('time'); ylabel ('signal'); title ('impulse*zero centered Lorentzian')

figure(2)
subplot(1,3,1)
stem(x, Int,'.');
xlabel('time'); ylabel ('signal'); title ('shifted impulse')
subplot (1,3,2)
plot(x, L2)
xlabel('time'); ylabel ('signal'); title ('"mean time" centered Lorentzian for convolution')
subplot (1,3,3)
plot(x,F2)
xlabel('time'); ylabel ('signal'); title ('impulse*mean time centered Lorentzian')

谢谢。