我想向自己证明为什么 DCT 比 DFT 更好，这里简要介绍一下我目前所了解的内容。
DTFT 与有限采样输入信号一起工作，但获得的频率响应是连续的和周期性的。DFT 对 DTFT 进行采样，因为它对于现实世界的应用仍然不实用。DFT 继承了这种周期性，并且 X[k] 可以显示为从定义本身重复。采用周期性频谱的 IDFT，会产生周期性波形，这就是为什么 DFT 假设 x[n] 是周期性的。现在 DCT 更好的原因是它的周期性是均匀的，并且消除了任何不连续性。
为什么 DCT 假设 x[n] 是镜像的？这是事先在 DCT 的推导中建立的吗？此外，我们说 x[n] 没有任何不连续性，因为 X[k] 是 X[k+N] 的镜像，并且对其进行 IDFT 会导致周期性 x[n] 镜像没有不连续性。任何答案都值得赞赏，无论是描述性的还是数学的。
正如 DFT 通过构造假设一个周期信号一样，DCT 通过构造假设一个偶数信号。我们可以考虑通过周期性地扩展非周期性信号来对非周期性信号进行 DFT，但将我们的“观察窗口”限制在原始信号本身。现在，当你对偶数信号进行 DFT 时会发生什么？然后 DFT 是实数（这意味着它只能用余弦作为基函数来构造）。因此，本着与周期性扩展类似的精神，我们可以取任意非周期性、非偶数信号，对其进行镜像，然后对其进行周期性扩展。这产生了一个基于余弦的实数 DFT。同样，我们将“查看窗口”限制为原始信号本身。请注意，尽管我们在频域中将长度加倍，但我们只有实分量。实际上，这意味着我们存储的信息量与传统的 DFT 相同。DCT在压缩中有用的原因是与传统的DFT相比，低频分量比高频分量有更多的能量（能量压缩），所以我们可以压缩那些高频分量。这是真的，因为正如您所说，这种扩展的镜像周期信号缺乏传统 DFT 输入的尖锐不连续性，因此更平滑。