信息处理 - 在压缩感知中使用稀疏基是否意味着需要事先访问所有信息？ - 吾爱随笔录

在压缩感知中使用稀疏基是否意味着需要事先访问所有信息？

信息处理转换压缩传感稀疏性

2022-02-21 04:47:10

根据文献，CS 框架基于这样的知识，即大多数自然信号在某些域中是稀疏的，由稀疏变换操作给出 $\Phi$ （傅立叶、Haar、WHT 等）。

以单像素相机为例，如果我们试图对信号描述的现象进行成像 $x$ ，我们使用采样矩阵 $A$ 获得压缩测量 $y=A\Phi x$ 的代表 $x$ 在里面 $\Phi$ 域，这是稀疏的。

我的问题是，假设我们有某种物理单像素设备（使用 DMD 来投影 $x$ （由采样矩阵给出 $A$ ) 到检测器上以获得测量矢量 $y$ )，稀疏变换操作在哪里 $\Phi$ 体现在这个设备上？
DMD 模式是否与采样矩阵不对应 $A$ ，但对于 $A\Phi$ 产品？
我们必须向 DMD 提供稀疏域中的信号吗？ $\Phi x$ ? 在那种情况下，我们不需要以前的知识 $x$ 完整地获得它的变换 $\Phi$ 领域？据我了解，情况并非如此，但我未能掌握这件事的数学框架和硬件实现之间的映射。

1个回答

在我看来，您在这里有一些误解。仅在采样期间 $\Phi$ 矩阵应用于信号 $x$ ，这导致测量向量 $y$ , 。后来，在重建中，我们使用稀疏假设通过解决这种形式的问题来重建信号（还有其他形式的解决方案）： $y=Φx$

min | x |_{1} s . t . | Φ x - Y |_{2} < μ

$\min|x|_1 s.t. |\Phi x-Y|_2 < \mu$

是一个小人物。这意味着找到一个满足第二项的最小范数 1 长度到目前为止，我们假设在采样域中是稀疏的（在图像的情况下是空间，在信号的情况下是时间，在视频的情况下是时间空间）。但是如果信号在采样域中不是稀疏的并且在变换域中是稀疏的怎么办。矩阵测量信号/图像之前，我们是否必须对其进行转换？不！我们没有。我们仍然可以在时域或空间域中对稀疏信号进行采样，但要修改重构问题以找到变换信号的稀疏信号。因此，如果输入信号在变换域中具有稀疏表示，其运算符为矩阵 $\mu$ $x$ $x$ $Φ$ $\Psi$ ，我们可以写成或并将其代入重构问题中，如下所示： $x=\Psi^{-1}a$ $a=\Psi x$

min | a |_{1} s . t . | Φ Ψ^{- 1} a - Y |_{2} < μ

$\min |a|_1 s.t. |\Phi\Psi^{-1}a-Y|_2 < \mu$

因此，在重建阶段，我们将稀疏性和变换矩阵输入到问题中，并且在采样期间不需要变换后的信号。

话虽如此，针对您的问题：

这是否意味着 DMD 模式代表 AΦ 产品？

不，DMD 模式仅代表。A产品稍后出现在重建阶段，如果你的意思是 transform matrix ，它不是它宁愿是 $\Phi$ $A\Phi$ $A\Phi$ $A$ $\Phi A$

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