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巴特沃斯滤波器逼近：推导和输出极点

信息处理过滤器过滤器设计频率响应巴特沃思推导

2022-01-31 05:53:55

我无法理解巴特沃斯滤波器的确切推导以及它如何导致极点的输出。我研究了多个系列讲座和教科书，这是我目前的理解：

一个理想化的低通滤波器，即一堵砖墙，可以用下面的等式来实现： $n$ 趋于无穷？
$| H (j ω) | = \frac{1}{\sqrt{1 + ω^{2 n}}}$ $\lvert H(j\omega)\rvert = \frac{1}{\sqrt{1+\omega^{2n}}}$

这是幅度响应 - 即频率响应的幅度？
现在通过平方这个幅度响应和设置 $s = j\omega$ 你得到以下信息：
$| H (s) |^{2} = \frac{1}{1 + {(\frac{s}{j})}^{2 n}}$ $\lvert H(s)\rvert^2 = \frac{1}{1+\left(\frac sj\right)^{2n}}$ 将频率响应的幅度平方得到什么？我明白那个 $\lvert X(f)\rvert^2 = X(f)\cdot X^*(f)$ ?
这两项的结果（/传递函数？） $H(s)$ 和 $H(-s)$ . 随后您只对 $H(s)$ ，为什么？我知道它的两极在左边 $s$ -平面，因此系统是稳定的？但是关于 $H(-s)$ ?
然后，您从结果推导中获得极点，并获得结果传递函数。这个传递函数及其相关系数可以用适当的 R 和 C 值物理实现吗？

任何帮助将不胜感激！

问候

1个回答

请注意，巴特沃斯滤波器只是理想低通滤波器的许多可能近似值之一。这是一个泰勒级数近似（在 $\omega=0$ ) 的期望响应，因此，巴特沃斯滤波器的幅度响应最大平坦在 $\omega=0$ .

逼近平方幅度响应（而不是复频率响应或幅度响应）的优点是要逼近的函数是实值变量的解析实值函数，这简化了逼近问题。

我们有

\begin{matrix} (1) & | H (j ω) |^{2} = H (j ω) H^{*} (j ω) = H (j ω) H (- j ω) = H (s) H (- s) |_{s = j ω} \end{matrix}

$|H(j\omega)|^2=H(j\omega)H^*(j\omega)=H(j\omega)H(-j\omega)=H(s)H(-s)\Big |_{s=j\omega}\tag{1}$

因为 $H^*(j\omega)=H(-j\omega)$ 对于实值系统，即对于具有实值脉冲响应的系统，或者等效地，具有实值传递函数系数的系统。

因为对于巴特沃斯低通滤波器

\begin{matrix} (2) & | H (j ω) |^{2} = \frac{1}{1 + ω^{2 N}} \end{matrix}

$|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\omega^{2N}}\tag{2}$

我们有

\begin{matrix} (3) & H (s) H (- s) = \frac{1}{1 + (s / j)^{2 N}} = \frac{1}{1 + (- s)^{2 N}} \end{matrix}

$H(s)H(-s)=\frac{1}{1+(s/j)^{2N}}=\frac{1}{1+(-s)^{2N}}\tag{3}$

从平方幅度函数我们需要推导出传递函数 $H(s)$ ，这就是我们真正想要实现的功能。从 $(3)$ 我们知道，两极 $H(s)H(-s)$ （即，分母的零点 $(3)$ ) 在复平面上一个圆。由于我们只能实现一个因果稳定的传递函数，我们选择 $N$ 左半平面中的极点 $H(s)$ ，因此，右半平面中的镜像极点是 $H(-s)$ .

现在我们知道了 $H(s)$ （即它的分子和分母系数），并且在选择了截止频率和滤波器结构之后，我们可以计算实现给定传递函数所需的无源元件的值。

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