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为时间密度定义时间平均值

信息处理功率谱密度时频

2022-02-24 07:27:48

我正在阅读 Leon Cohen 的教科书“时频分析”，我已经完成了相当一部分。然而，我一直在讨论一个概念性问题。书中指出：

如果我们将视为时间密度，则可以以通常定义任何平均值的方式定义平均时间： $\lvert s(t)\rvert^2$

$⟨ t ⟩ = \int t | s (t) |^{2} d t$ $\langle t \rangle = \int t \lvert s(t)\rvert^2dt$

我从概念上不明白为什么在积分中乘以将为我们提供平均值。尽管书籍坚持认为这是常识（很可能我只是没有正确解释它），但我也不知道这是定义平均值的典型方法。我一直认为平均值除以某个基数，例如除以总时间而不是在积分内乘以前面说： $t$ $T$ $t$

$\lvert s(t)\rvert^2$ 是每单位时间的能量。

所以我在想，也许在数学上乘以具有 s 单位的摆脱每单位时间部分，但的单位实际上并不是v将是导数，它只是所以没有多大意义（假设信号是电信号并且单位时间是秒）。有人可以指出我如何思考这个问题的正确方向吗？我知道这是一个简单的概念，但我只是难以克服这个障碍。谢谢！ $t$ $s$ $\lvert s(t)\rvert^2$ $v^2/s$ $v^2$

2个回答

我认为这暗示着 $\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)|^2 dt = 1$ （这就是为什么作者提到 $|s(t)|^2$ 作为密度）。

我同意你的观点“我一直认为平均值除以某个基数”，但在这种情况下，基数将为 1，因此不需要除法。如果你要绘制 $|s(t)|^2$ 作为一个函数 $t$ ，并将此图视为直方图，积分：

\int_{- \infty}^{\infty} t | s (t) |^{2} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t|s(t)|^2 dt$ 会告诉你平均值，因为每个值

t

$t$ 由密度函数加权。

取一个在实线上定义的信号，由时间位置定义。在时间通过信号的能量或平方幅度对它们进行局部加权。然后可以将信号的某个平均时间位置的定义设置为其质心。您可以将其视为一个平衡点（信号的能量将被平衡，将时间线放在您的指尖），或者总结一下：将所有信号的能量集中在这一点上。 $t$ $t$ $s|(t)|^2$

请记住对于权重的点的质心的离散版本， : 现在看一个连续公式，如：那么类比很清楚：将是所取“时间”的质心有一个无限的总和。求解得到： $M$ $T_i$ $w_i$ $\sum_i w_i \neq 0$

\sum_{i} w_{i} \vec{T_{i} M} = \vec{0} .

$\sum_i w_i\vec{T_i M} = \vec{0}.$

\int | s (t) |^{2} (m - t) d t = 0

$\int \lvert s(t)\rvert^2 \left( m - t \right) dt = 0$

m

$m$

m

$m$

m = ⟨ t ⟩ = \frac{\int t | s (t) |^{2} d t}{\int | s (t) |^{2} d t} = \int t (\frac{| s (t) |^{2}}{\int | s (t) |^{2} d t}) d t .

$m = \langle t \rangle = \frac{\int t\lvert s(t)\rvert^2 dt}{\int \lvert s(t)\rvert^2 dt}= \int t \left(\frac{\lvert s(t)\rvert^2}{\int \lvert s(t)\rvert^2 dt}\right) dt.$

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