高斯的归一化拉普拉斯算子

信息处理 图像处理 局部特征
2022-02-02 09:54:34

2d 情况下高斯公式的拉普拉斯算子是

LoG(x,y)=1πσ4(x2+y22σ21)ex2+y22σ2,
在数字图像的尺度空间相关处理中,为了使高斯算子的拉普拉斯算子对尺度不变,通常说归一化LoG乘以σ2, 那是
LoGnormalized(x,y)=σ2LoG(x,y)=1πσ2(x2+y22σ21)ex2+y22σ2.
我想知道为什么要乘以σ2不是σ4还是别的什么?

3个回答

拉普拉斯响应衰减为σ增加,它是二阶高斯导数,所以它乘以σ2.

LOG 定义为2G所以规模标准化 LOG 将是σ22G. 您需要摆脱高斯的比例因子,即σ2.

@bruvel 说的是对的,但是有一种更简单的方法可以理解这一点。想象一下,你有一个白点与一个大小为高斯的高斯卷积σ

f(x,y)=ex2+y22σ2πσ2

现在,如果您将其与带有 sigma 的 LoG 进行卷积scale,你得到 x/y=0:

f(x,y)log(x,y)dydx

=1π(σ+scale)2

显然,对于一个与大小为高斯卷积的点σ,我们希望有一个最大的尺度空间scale=σ. 如果将 LoG 输出乘以scale,你得到的只是:

scaleπ(σ+scale)2scale=0scale=σ

因此,如果您想在尺度空间的正确位置检测“点状”特征(例如,用于关键点检测),请将 LoG 结果与σ给出正确的结果。(但这对于线或阶梯边缘特征并不一定如此!对于那些,乘以σk对于一些k>0可能会给出更准确的结果。)

我在这里找到了详细的解释简而言之,我们使用归一化来保持响应的幅度σ-独立的。