信息处理 - 为什么脉冲响应的卷积与系统的输出不匹配？ - 吾爱随笔录

如果您在 scipy 中定义了一个LTI 系统 sys，您可以方便地向它提供输入x以获取其输出y，如下所示：

from scipy import signal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# let's define as mass-damper-spring system:
# x'' + beta x' + w0**2 x = F/m
m = 10
w0 = 20*2*np.pi
beta = 1.5 

fs = 500 # sampling frequency (Hz)
ts = np.arange(0,100,1./fs) # time interval of simulation
sys = signal.lti(1./m,[1,beta, w0**2]) 

# simulate the response to an input
x = 10+np.random.normal(0,1,size=ts.shape) # input
_, y, _ = sys.output(U = x, T=ts, ) # output

但是，也可以将脉冲响应（也可以通过lti模块访问）与输入卷积并找到输入的输出：

_, kern = sys.impulse(T=ts) # impulse response 
y_conv = signal.convolve(kern/fs,x)[:len(ts)] #1/fs=dt of integration

我意识到归一化y_conv和归一化y是不同的，即使它们在理论上应该是相同的（如下所示）：

fig, axs= plt.subplots(3,1, figsize=(10,5), sharex=True)
axs[0].plot(ts, y,label='output y') 
axs[1].scatter(ts, y-y_conv,marker='.', label='difference') 
axs[2].plot(ts, kern, label='kernel (impulse response)') 
plt.xlabel('time')
for ax in axs:
    ax.legend()

事实上，scipy 团队并没有使用卷积实现线性系统的输出。

我用一个更简单的系统 ( sys = signal.lti(1,[1,1])) 做了一个类似的实验，并意识到这个误差确实是采样频率的函数，fs如下图所示（注意中间面板的范围）。越高fs，差距越小。

这些图片表明差异逐渐消失，如下所述。但是，我关于有限采样率机制的问题是：

采样频率如何在数学上导致这种差异？是否有任何错误界限的表达式？
双线性映射在这种差异中的作用是什么？是否可以调整此映射以减轻这种数值差异？
哪种方法更准确地估计对一般输入的响应，为什么（实施）？