如果给你一个输入$x(t)$和$x(t)=0$为了$t<t_0$，并且你指定一个初始条件$y(t_1)=0$为了$t_1>t_0$，那么得到的系统通常是非因果的，因为我们已经知道系统在$t_1>t_0$，无论区间内的输入信号如何$[t_0,t_1]$.

对于线性系统（在 Oppenheim 使用的意义上）和因果系统，我们需要在该点指定初始条件$t_0^-$，即我们要求左侧极限$y(t_0^-)$满足$y(t_0^-)=0$.

对于给定的示例，如果在$t=0$， 我们需要$y(0^-)=0$系统是线性的和因果的。请注意，对右侧限制没有要求$y(0^+)$.

显然，响应$y(t)=e^{-at}u(t)$满足初始条件$y(0^-)=0$.

根据我的理解，任何系统都是时间不变的，在系统被输入激发之前，它不能随时间增长。如果初始条件不为零，我可以转移我的输入，同时系统将进化到不同的状态，因此新输出将不仅仅是旧输出的转移版本，因此系统不会是时间不变的.

如果 LCCDE 是随意的并且输入是$f(t)u(t-t_0)$, 那么你可以说之前$t_0$（不包括$t_0$)，由于 LTI 系统的初始静止条件和偶然性等价，输出为零。

但是当我们尝试用这样的输入信号求解 LCCDE 时，我们实际上是分开讨论两种情况，1）当$t<t_0$，输入为0；2) 当$t>t_0$，输入为$f(t)$. 我们解决 LCCDE 并在第二种情况下得到它的一般解决方案，$t<t_0$. 因此我们不能像“$x(t_0-1)$" 代入未解决的通解并使其为零，以求解系数。

唯一可以利用的时间是$t_0$.

PS 是的，我说过“不包括$t_0$”。然而，它只会让我们感到不安$f(t)$异常，如delta函数。