信息处理 - 说明 ACF 函数的 FT 是信号 DTFT 的平方的演示 - 吾爱随笔录

说明 ACF 函数的 FT 是信号 DTFT 的平方的演示

信息处理功率谱密度自相关

2022-02-03 14:27:57

我正在关注《The Intuitive Guide to Fourier Analysis & Spectral Estimation with MATLAB》一书。我正在尝试在matlab中自学傅里叶分析。我在演示中的一段话中迷失了，它指出 ACF 函数的 FT 是信号 DTFT 的平方。我已将其附在此处正如您在我命名为 1 的段落中看到的那样。我认为错过了 delta_tau。你能证实吗？更重要的是第 2 点。我认为应该有 tau 而不是 t。所以我不知道这个公式是如何演示的，因为如果在段落 2. 中没有 t 演示可以结束。我希望你能帮帮我

1个回答

你是对的，推导中充满了错别字。方程下面的第一个方程。 $(8.39)$ 应该读

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ = X (ω) e^{j ω t} \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau)e^{\color{red}{-}j\omega\tau}d\tau=X(\omega)e^{j\omega \color{red}{t}}\tag{1}$

代入 $(8.39)$ 给

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} F {R (τ)} & = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) X (ω) e^{j ω t} d t \\ = X (ω) X (- ω) = | X (ω) |^{2} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\mathcal{F}\big\{R(\tau)\big\}&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)X(\omega)e^{j\omega t}dt\\&=X(\omega)X(-\omega)=|X(\omega)|^2\end{align}\tag{2}$

最后一个等式只对实值有效 $x(t)$ . 但是，对于复值，总体结果也是正确的 $x(t)$ 因为在这种情况下，ACF 的定义不同：

\begin{matrix} (3) & F {R (τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} x^{*} (t) x (t + τ) d t \end{matrix}

$\mathcal{F}\big\{R(\tau)\big\}=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)x(t+\tau)dt\tag{3}$

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