信息处理 - 模拟给定时间自相关函数的时间序列 - 吾爱随笔录 - 问答

模拟给定时间自相关函数的时间序列

信息处理自相关时间序列随机过程

2022-02-11 15:05:11

给定一个随机过程（例如长度）和所有相关函数，例如： $x[n] \in \mathbb{R}$ $N$

\begin{aligned} ⟨ x [i] ⟩ \\ ⟨ x [i] x [j] ⟩ \\ ⟨ x [i] x [j] x [k] ⟩ \\ ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} \langle x[i]\rangle\\ \langle x[i]x[j]\rangle\\ \langle x[i]x[j]x[k]\rangle\\ \vdots \end{align}$

是否可以模拟随机过程的单个实现，如果可以，如何？抽象地思考这个问题，似乎任何轨迹都可以映射到 \mathbb{R}^n 中的向量上，上存在一些概率分布。对该分布进行采样然后挑选出相应的轨迹将构成我正在寻找的单个实现的“模拟”。似乎给定了有关所有自相关函数的信息，应该可以确定概率分布。这似乎与反矩问题有关。 $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$
如果我们截断并且只有次相关函数怎么办？我的猜测是不可能唯一地生成概率分布，但应该可以（非唯一地）模拟一个具有匹配自相关函数高达的过程。 $k$ $k<N$ $k$

1个回答

这是您可能使用的一种可能的方法。

让我们将您的随机过程阶的自回归 (AR) 过程，即其中是一些常数，为了简单起见，我将在下面设置为 0，是 AR 模型的参数，是一些白色方差噪声。 $x[n]$ $P$

x [n] + \sum_{p = 1}^{P} a_{p} x [n - p] = c + ϵ [n]

$x[n] + \sum_{p=1}^P a_px[n-p] = c + \epsilon[n]$

c

$c$

{a_{p}}_{p = 1}^{P}

$\{a_p\}_{p=1}^P$

ϵ [n]

$\epsilon[n]$

σ_{ϵ}^{2}

$\sigma^2_\epsilon$

对于一些将上述方程的每一边乘以导致我们得到现在，取两边的期望，我们得到 Yule-Walker 方程使用和对于不相关的事实（你可以看到来自上述 AR 过程的方程）。使用这个方程和，你有方程来求解 $x[n-l]$ $l \ge 0$

(x [n] + \sum_{p = 1}^{P} a_{p} x [n - p]) x [n - l] = ϵ [n] x [n - l] .

$\left(x[n] + \sum_{p=1}^P a_px[n-p]\right)x[n-l] = \epsilon[n]x[n-l].$

C_{x} [l] + \sum_{p = 1}^{P} a_{p} C_{x} [l - p] = {\begin{cases} 0 & if & l > 0, \\ σ_{ϵ}^{2} & if & l = 0 \end{cases}

$C_x[l] + \sum_{p=1}^P a_pC_x[l-p] = \begin{cases} 0 & \text{if} & l > 0, \\ \sigma^2_\epsilon & \text{if} & l = 0 \end{cases}$

ϵ [n]

$\epsilon[n]$

x [n - l]

$x[n-l]$

l > 0

$l > 0$

l = 0, 1, 2, \dots, P

$l = 0, 1, 2, \dots, P$

P + 1

$P+1$

P + 1

$P + 1$ 未知数（即和）。

{a_{p}}_{p = 1}^{P}

$\{a_p\}_{p=1}^P$

σ_{ϵ}^{2}

$\sigma^2_\epsilon$

然后，您有一个模型可以在给定时间自相关的情况下生成时间序列。

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