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Parseval定理和Plancherel定理有什么区别？

信息处理信号分析傅里叶变换

2022-02-24 15:04:21

维基百科给出了 Parseval 定理如下。帕塞瓦尔定理

$\int_{-\infty }^{\infty }\left | x(t)) \right |^{2}dt = \frac{1}{2\Pi } \int_{-\infty }^{\infty } \left | X(\omega )) \right |^{2}d\omega$ , $X(\omega )$ 是 x(t) 的傅里叶变换。

并且 Plancheral 定理被给出为

$\int_{-\infty }^{\infty }\left | (f(x))) \right |^{2}dx = \int_{-\infty }^{\infty } \left | \hat{f} (\varepsilon )\right |^{2}d\varepsilon$ ,

$\hat{f} (\varepsilon )$ 傅立叶模拟在哪里。

Plancheral 定理 wiki 链接

两者看起来都和我相似。两者之间究竟有什么区别？

1个回答

根据您共享的链接，并使用维基百科的符号，Parseval 假设 $A(x),B(x)$ 是两个平方可积的（关于 Lebesgue 测度），复值函数 $\mathbb {R}$ 期间 $2\pi$ 傅里叶级数

A (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} e^{i n x}

$A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}$ 和

B (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} b_{n} e^{i n x}

$B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}$ 然后

\sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} \bar{b_{n}} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} A (x) \bar{B (x)} d x

$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} \, \mathrm{d}x$ Plancherel提供了 Parsevals 定理的连续版本（在某种意义上

a_{n}

$a_n$ 和

b_{n}

$b_n$ 现在是

f (x)

$f(x)$ 和

g (x)

$g(x)$ ，分别和

A (x), B (x)

$A(x),B(x)$ 被替换为

\hat{f} (ξ), \hat{g} (ξ)

$\widehat{f}(\xi), \widehat{g}(\xi)$ )

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