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多维小波容许准则

信息处理小波二维

2022-02-24 22:56:04

我读过小波有两个可接受标准，这两个标准都是为了保持信号的总功率（来源：http ://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet#Mother_wavelet ，以及各种科学论文）

零均值条件： $\int_{- \infty}^{\infty} ψ (t) d t = 0$ $\int_{-\infty}^{\infty}\psi(t)dt=0$
平方范数一的条件： $\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (t) |^{2} d t = 1,$ $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(t)|^2dt=1,$

其中是小波核。这导致 Gabor/Morlet 小波的归一化因子为。 $\psi(t)$ $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

现在，我的问题是：这些可接受性标准如何应用于二维小波？（假设。） $\psi(x,y)$

我的猜测是：

$\int_{x = - \infty}^{\infty} \int_{y = - \infty}^{\infty} ψ (x, y) d x d y = 0$ $\int_{x=-\infty}^{\infty}\int_{y=-\infty}^{\infty}\psi(x,y)dx dy=0$
$\int_{x = - \infty}^{\infty} \int_{y = - \infty}^{\infty} | ψ (x, y) |^{2} d x d y = 1,$ $\int_{x=-\infty}^{\infty}\int_{y=-\infty}^{\infty}|\psi(x,y)|^2dxdy=1,$

但我的计算结果不一致。

我的猜测对吗？如果不是，它们是什么？你能提供一个可靠的来源吗？

1个回答

事实证明，可接受性标准并没有规定小波的能量必须是统一的。要归类为小波，小波必须遵循以下标准：

小波必须有有限的能量，所以 $E = \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(t)|^{2} dt < \infty$
第二个条件是小波必须具有零均值。（这背后的直觉是因为小波就像一个匹配滤波器，我们只关心接收信号的形状与小波的匹配程度，而不是接收信号的能量）。因此，如果是小波的傅立叶变换，则：这里的称为容许常数，上述性质称为容许准则。这意味着，因为如果不是这样，上面的积分就会像你看到的那样爆炸。 $\hat\psi(f)$ $C_{g} = \int_{0}^{\infty} \frac{| \hat{ψ} (f) |^{2}}{f} d f < \infty$ $C_g = \int_{0}^{\infty} \frac{|\hat\psi(f)|^2}{f} df < \infty$ $C_g$ $\hat\psi(0)=0$
最后，对于复小波，最后一个标准指出傅里叶变换必须是实数，并且对于负频率为零。

现在请注意，它在哪里没有说明小波的平方范数必须等于单位。它只声明。 $E < \infty$

在您的情况下，听起来好像小波域中信号的能量与傅里叶域中的信号能量不匹配。没有更多信息，我最好的猜测是你没有将你的小波标准化为单位能量，因为它不是可接受性标准的要求。（首先检查，如果空间域中的信号能量实际上与小波域中的信号能量相匹配）。我会从那里开始。

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