我正在研究频域中的维纳滤波器，由
$$ W(\omega) = \frac{S_{ud}(\omega)}{S_{uu}(\omega)}$$
where $S_{xy} (\omega)$是交叉功率谱密度 (CPSD)，请参见scipy.signal.csd或MATLAB cpsd。我使用 Pythonscipy.signal.csd来估计$S_{xy}$。
这里$d[n]$是所需信号（“mic”），$u[n]$（“ref”）是参考信号。
现在，在这里我描述了如何生成信号（在 Python 中）。我生成了一个 10 秒的白噪声，还生成了一个 FIR 传递函数true_h（有两种生成方法：一种是设计 FIR 带通滤波器并使用它，第二种是从真实房间实验中测量的）。
from scipy import signal
# Generate filter
true_L = 150 # filter size for simulation
true_h = signal.firwin(true_L, cutoff=[1000, 3000], pass_zero="bandpass", fs=FS)
fft_h = np.fft.rfft(true_h)
# Generate 10 seconds of white noise
np.random.seed(0)
ref = np.random.randn(10*FS)/100
mic = signal.lfilter(true_h, 1, ref)
目标是估计$w = \mathcal{F}^{-1}(W)$其中$W$是估计的 Wiener 滤波器频率，$\mathcal{F}^{-1}$是逆离散傅里叶变换。
频域中的维纳计算如下：
from scipy import signal
# ref = reference signal
# mic = desired signal
freqs, Pxy = signal.csd(ref, mic, fs=FS, nperseg=nfft)
freqs, Pxx = signal.csd(ref, ref, fs=FS, nperseg=nfft)
wiener = Pxy / Pxx
估计滤波器$w$的应用如下：
# Inverse FFT for Wiener filter
wiener_taps = np.fft.irfft(wiener)
# Apply Wiener
error_wiener = mic - signal.lfilter(wiener_taps, 1, ref)
期望的结果是$e[n] = d[n] - w[n] \ast u[n]$几乎是$0$。但这种情况并非如此。我得到的残差只有 -10 到 -20 dB 左右。
当我使用频率/快速块 LMS（FBLMS 或 FLMS）时，我得到一个残差$e[n]$，它约为 -40 dB，即 的估计true_h值几乎是完美的。
我还绘制了与真实传递函数（在抽头和频域中）相比的 Wiener 和 FLMS 估计值，true_h并获得了非常好的匹配，但 FLMS 中的匹配比 Wiener 中的更好）。
这很奇怪，因为 Wiener 被认为是 MSE（均方误差）意义上的最佳滤波器。但在这个例子中，Wiener 的表现比 FLMS 差。请参阅以下结果：
结果：
图 1：回波回波损耗增强 (ERLE)。黑色 = 原始，绿色 = Wiener 之后，蓝色 = LMS 之后。
图 2：残差 (e = d - w * u)。绿色：维纳滤波器，红色：FLMS 滤波器。蓝色：自适应 FLMS（与此问题无关）。
编辑时添加： 在这里我进一步研究维纳。我生成了一个 150 抽头的 FIR，并将其应用于白噪声信号（由正态分布生成）：
# Generate filter
true_L = 150 # filter size for simulation
true_h = signal.firwin(true_L, cutoff=[1000, 3000], pass_zero="bandpass", fs=FS)
# Generate 10 seconds of white noise
np.random.seed(0)
ref = np.random.randn(10*FS)/100
mic = signal.lfilter(true_h, 1, ref)
然后通过以下方式计算维纳：
- scipy 的默认 CSD 参数。
f1, Pxy = signal.csd(ref, mic, fs=FS)
f1, Pxx = signal.csd(ref, ref, fs=FS)
wiener_freq = Pxy/Pxx
图 3：维纳后的错位和残差（默认框架）
- 对整个信号（一个“帧”）进行一次长 FFT：
f1, Pxy = signal.csd(ref, mic, fs=FS, nperseg=len(ref))
f1, Pxx = signal.csd(ref, ref, fs=FS, nperseg=len(ref))
wiener_freq = Pxy/Pxx
图 4：维纳后的错位和残差（一个大框架）
正如我们所见，第二种方法产生了更好的结果，但仍然不是一个完美的 0 残差（即残差 < -100 dB）。
在编辑中添加：
当信号是合成的时，似乎就是这种情况：即参考是由 生成的白噪声，numpy.random.randn而传递函数是由scipy.signal.firwin大约 50-250 个抽头生成的。对于真实数据，维纳似乎表现更好。
在另一个编辑中添加：
图 5：合成白噪声信号和 FIR 传递函数的 Wiener（橙色）与 FBLMS（绿色）。
图 6：Wiener（橙色）与 FBLMS（绿色）的真实信号（使用音频设备录制）
可以看出，对于合成情况，FBLMS 优于 Wiener，而对于真实情况，反之亦然，Wiener 更好，FBLMS 收敛于 Wiener。
参考：