信息处理 - 用 FFT 在频域中推导的正确方法 - 吾爱随笔录

我相信我非常接近答案，只需轻轻一推即可获得答案。

我想要什么：
我想获取一个信号，使用 FFT 将其转换为频域 (FD)，然后将其乘以 $jw$ ，然后将其转换回时域 (TD)。

我为什么要它：
因为这是我应该能够在我的位置上解决的问题，所以我想知道如何正确地解决它。而且因为用 Arduino 制作一个非常低端的频谱分析仪会很有趣，而不是发送脉冲，我可以发送一个步骤来代替，导出输出以获得脉冲响应。我知道我也可以发送方波并使用 Goertzel 滤波器并在方波中寻找基本正弦，但是......正如我之前所说。我想知道如何正确地做到这一点。

我尝试过的：
我想我会先选择最简单的情况，方波和三角波。

方波的傅立叶级数为：

square_wave (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin (x (2 n + 1))}{2 n + 1}

$\text{square_wave}(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{\sin\biggl(x(2n+1)\biggr)}{2n+1}$

三角波的傅里叶级数为：

triangle_wave (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\sin (x (2 n + 1) - \frac{π}{2})}{(2 n + 1)^{2}}

$\text{triangle_wave}(x) = \sum_{n=0}^\infty\frac{\sin\biggl(x(2n+1)-\frac{\pi}{2}\biggr)}{(2n+1)^2}$

三角波的导数是方波，从上面的等式可以清楚地看出，乘以 $jw$ 相移每个正弦并正确放大每个正弦以消除一个 $(2n+1)$ 因素。

我知道 0 Hz 分量的导数是 0，所以在 FD 中，我知道除了最高频率分量之外我需要将信号乘以的所有值，但我也将其设置为 0，因为我不知道不知道应该是什么。

我也知道，对于实值输入，频谱在中间镜像，并且频谱的后半部分只是前半部分的共轭。

这意味着我需要在 FD 中将信号与 32 bin FFT 相乘的向量在 matlab/octave 代码中看起来像这样：

derivative = [0,i*1:15,0,-i*15:-1:1] 
%comments:
%0 = 0
%1:15 = 1,2...14,15
%15:-1:1 = 15,14...2,1

derived_signal = ifft(fft(signal).*derivative)

我的 make-a-sense-o-meter 说它是有道理的，但是当我将信号与它相乘时，我得到的结果非常接近导数，但不是 100% 正确。如果我乘以[0,-1,zeros(1,29),1]一阶导数近似的 FFT，我会得到更好的结果。有关倍频程图，请参见下图。

这是我使用的代码，以防其他人想乱七八糟：

triangle=[linspace(-1,1,16),linspace(1,-1,16)];


subplot(1,2,1)

plot(0:31,triangle)

xticks([0 7 15 23 31])
axis([-1 32 -1.1 1.1])

title("32 point triangle wave")
grid



subplot(1,2,2)
hold on

dt_jw=real(ifft(fft(triangle).*[0,i*(1:15),0,-i*(15:-1:1)]));
plot(0:31,dt_jw)

dt_convolution=real(ifft(fft(triangle).*fft([0,-1,zeros(1,29),1])));
plot(0:31,dt_convolution)

axis([-1 32 -1.1 1.1])
xticks([0 7 15 23 31])
yticks([1 dt_jw(floor(length(dt_jw)/4)) dt_convolution(floor(length(dt_jw)/4)) 0 -1])

title("d/dt(triangle)")
legend("fft(tri)*jw","convolution with [-1,0,1]")

grid
hold off

我觉得我非常接近答案，并且我遗漏了一些非常明显的东西。

那么为什么乘以 $jw$ 不把我的三角波变成漂亮的方波？因为到目前为止，用一阶导数近似对我的三角波进行卷积更有意义。