信息处理 - （如何提出家庭作业问题）：使用比例控制器定义极点 - 吾爱随笔录

信息处理转换功能控制系统

2022-02-18 05:12:35

给定的是具有传递函数的过程

G (s) = \frac{s - 1}{s^{2} + 3 s + 2}

$G(s) = \frac{s - 1}{s^2 + 3s + 2}$

我想创建一个控制器，以便受控系统的极点是

p_{1, 2} = - 4 \pm i

$p_{1,2} = -4 \pm i$

是否可以使用比例控制器来做到这一点？

我已经计算了闭环系统的传递函数，即：

G_{1} (s) = \frac{k \cdot (s - 1)}{(s + 1) \cdot (s + 2) + k \cdot (s - 1)}

$G_1(s) = \frac{k \cdot (s-1)}{(s+1) \cdot (s+2) + k \cdot (s-1)}$

然后我试图弄清楚是否存在导致所需极点的 k 值，发现不存在这样的值，所以我的回答是不可能使用比例控制器。如果我的解决方案有误，请纠正我。

1个回答

干得好，你的结论是正确的。

进一步确认闭环系统中的极点是

1 + K G (s) = 0

$1+K G(s)=0$

这导致具有分子的多项式

s^{2} + (3 + K) s + (2 - K)

$s^2+(3+K)s+(2-K)$

为了有复数根，使用二次公式必须是负数。 $\sqrt{b^2-4ac}$

所以我们想测试任何 K $4(2-K)>(3+K)^2$

由于的根大约在 -.101, -9.898： $4(2-K)=(3+K)^2$

K^{2} + 10 K + 1 = 0

$K^2+10K+1=0$

因此，极点可以是复数的 K 的范围是从 -.101 到 -9.898。

如下图所示，在 K=-10.5 到 0 的范围内将闭环系统的所有极点显示为 K（根轨迹）的函数，这证实了不是闭环极点。 $-4 \pm i$

我们可以通过使用根轨迹上的“Break-Outs”关系在数学上证明这一点：

正如 Cheever 博士所总结的，突破点或突破点出现在 N(s)D'(s)-N'(s)D(s)=0 的地方，其中 N(s) 和 D(s) 是分子和开环传递函数的分母多项式，N'(s)和D'(s)是微分。

$N(s)= s-1$

$N'(s) = 1$

$D(s) = s^2+s3+2$

$D'(s) = 2s+3$

解决此问题会导致根在大约 -1.4495 和 3.4495 处，表明突破和突破位置。当 K=-0.101 时，根轨迹将在 -1.4495 处突破，并遵循上图所示轨迹，在 K=-9.898 时在 3.4495 处突破。因此不是闭环极点。 $-4 \pm i$

注意：根轨迹是使用 Octave 和 rlocus 命令绘制的，作为控制工具箱的一部分

pkg load control %if not already loaded
sys=tf([1 -1],[1 3 2]);
rlocus(sys,.1,-10.5,0);

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