时域中的卷积相当于频域中的乘法。

如果您在时域中对两个正弦曲线进行窗口化以获得有限长度的波形，并且这两个正弦曲线在窗口宽度上恰好是整数周期，那么 DFT 将是脉冲。如果频率不同，两个 DFT 中的脉冲会不相交，两个频谱相乘会导致输出为零。

如果两个正弦曲线中的一个或两个在您的窗口宽度中不完全是整数周期，那么 FT 将产生一个 Sinc 函数。然后卷积将等效于将 Sinc 函数与脉冲或另一个 Sinc 函数相乘，这将产生非零结果。

两个不同频率的加窗正弦信号的卷积$f_1$ 和$f_2$可以看作是在频率上通过窗口正弦曲线的结果 $f_1$通过一个假设的线性滤波器，其脉冲响应在频率上是一个窗口正弦曲线$f_2$. 当线性滤波器被频率上的音调激发时$f_1$，稳态输出是频率的音调 $f_1$. 但是，由于系统的瞬态 响应想要输出频率信号，输出中也存在伪影$f_2$如果可以的话。

如果输入信号（音调在频率$f_1$) 开始于$t = -\infty$并且持续有增无减地进入未来的永恒，瞬态响应（开始于$t = -\infty$) 很久以前就消失了，我们只观察到平时的稳态响应（比如在$t = 0$和$t = T$）。输入是一个窗口信号，开始于$t=0$，比如说，稳态响应（在频率$f_1$）以及瞬态响应（频率衰减音$f_2$) 观察到$t \geq 0$. 因此，在卷积两个窗口音调时，两个频率在输出中都应该是可观察到的，尤其是较小的频率应该是可观察到的。

也许尝试利用傅立叶变换的特性。在我的脑海中，也许利用对偶属性会帮助你。

我认为没有窗口的情况下值得一看。OP没有提到窗口，没有它应该有答案。

让我们暂时停留在模拟域中。我们可以尝试在频域中解决这个问题：正弦波的 FT 是$k\cdot(\delta(\omega_1)+\delta(-\omega_1))$. 时域中的卷积等效于频域中的乘法，因此答案将是“0，除非频率相同”。该操作仍然有点尴尬，因为您需要将零与无穷大相乘，但是$\delta()$函数具有无限值，它具有有限能量，因此乘法的能量为零。

时域看起来有点尴尬。对于每个输出，我们需要在某个时间滞后时将两个正弦波相乘，然后从$-\infty$到$+\infty$. 两个正弦波的乘积是两个正弦波的和频和差频。然而，积分很尴尬，乍一看似乎并没有收敛。

可能有诀窍。首先我们可以把它分成两个积分，一个是和，一个是差，然后像这样评估积分

在内的任何 T 值，该积分始终为零。这里的技巧是选择积分间隔，​​使其始终围绕正弦波的零对称。所以区间下半部分的积分总是上半部分积分的负数，并且两半会相互抵消。$\infty$

我不完全确定这是否是“合法”技巧，即是否可以通过智能选择积分间隔来强制收敛。