$$\begin{align} (1-x)\sum_{k=0}^{n}x^k &= \sum_{k=0}^{n}x^k - x\sum_{k=0}^{n}x^k \\ \\ &= \sum_{k=0}^{n}x^k - \sum_{k=1}^{n+1}x^k \\ \\ &=1 + x+x^2+ \dots+x^n \ \\ & \qquad -x-x^2-\dots-x^n-x^{n+1}\\ \\ &= 1 - x^{n+1} \end{align}$$

因此，如果$x \ne 1$, 两边除以$(1-x)$结果是

$$\sum_{k=0}^{n}x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$

代替$x = \alpha^{-1}$， 它成为了

$$\sum_{k=0}^{n}\alpha^{-k} = \frac{1-(1/\alpha)^{n+1}}{1-1/\alpha}$$

@AlexTP 提供了总和的证明$k=0$到$k=n$. 让我提出更一般的情况：假设整数$a,b$是有限的，那么对于任何$\beta$我们有

$$\sum_{k=a}^{b} \beta^k = \frac{ ~~\beta^a - \beta^{b+1} }{ 1 - \beta}$$

当任何总和限制$a$或者$b$是无限的，那么应该考虑一个限制过程，我们有：

$$\sum_{k=a}^{\infty} \beta^k = \frac{ ~~\beta^a }{ 1 - \beta}$$ 为了$|\beta| < 1$，否则它不会收敛。对于下限的无穷大，我们有：

$$\sum_{k=-\infty}^{b} \beta^k = \frac{ - \beta^{b+1} }{ 1 - \beta}$$ 为了$|\beta| > 1$，否则它不会收敛。

适用于您的案件$a=0$,$b=n$和$\beta = \alpha^{-1}$：

$$\alpha^{n} \sum_{k=0}^{n} (\alpha^{-1})^k = \alpha^{n} \frac{ 1 - \alpha^{-n-1} }{1 - \alpha^{-1} } = \frac{ \alpha^{n+1} - 1 }{\alpha - 1 }= \frac{ 1 - \alpha^{n+1} }{1 - \alpha }$$