警告：$|e^{j\omega}|$等于$1$当且仅当$\omega$是一个实数。更一般地，对于$z$复杂的， $|e^{z}|=e^{\Re{z}}$.

这实际上取决于您的先验知识，因为指数、正弦或余弦等函数可以以不同的方式开发。在这里，我假设您知道正弦和余弦，因为您指的是角频率。然后，定义指数的历史方法是通过欧拉公式，例如：

然后，通过Argand 的复平面解释，可以将复数解释为具有 2D 坐标的点$(x,y) \leftrightarrow x+jy$: 实部是指$X$-轴，虚轴$Y$-轴。因此，显然，$e^{j\omega}$有一个点的坐标$(0,0)$- 带半径的中心圆$1$，因此幅度 $|e^{j\omega}|$等于半径，或 $(\cos \omega)^2+(\sin \omega)^2=1^2$.

在更现代的版本中，$e^z$由一系列定义（参见DFT 的复共轭对称性证明），并且$\cos$和$\sin$是为它派生的，所以它们不会先出现。

由欧拉公式，假设$\omega$是一个实数：

复数大小的定义$z = x + jy$是：

$Ke^{j\theta}$是描述具有幅值 K 和角度的相量的数学方法$\theta$. 我认为了解这种简单的关系可以消除很多谜团。正如卡洛斯所展示的，欧拉的身份证明了这一点。

有趣的是，如果您将任何实数提高到 j 的幂，则幅度将为 1！

你可以通过求解一个复数的大小来看到这一点，这个复数是复共轭乘法的平方根：

$\sqrt{x^j x^{-j}} = \sqrt{x^0} = 1$